如何使用 SymPy 加速符号集成？

如何解决如何使用 SymPy 加速符号集成？

我试图象征性地整合以下表达式（最终表达式将以 x 表示）：

from sympy import *
x,y = symbols('x,y')
expr = 0.25*sqrt(15/(2*pi)) * exp(2j*y) * (sin(x))**2 * sin(x) * sqrt(cos(x))
int_expr = simplify(integrate(expr,x,(y,2*pi)))
print(int_expr)

需要注意的一点是，当我集成 0.25*sqrt(15/(2*pi)) * exp(2j*y) * (sin(x))**2 * sin(x) 时，程序运行速度会更快一些。将 sqrt(cos(x)) 加入它会使其变得非常缓慢，并且实现代码需要永恒的时间。 在做了很多简化之后，我已经达到了这个数学表达式，它使程序“开始工作” 有没有办法加快这段代码？非常感谢任何建议。

解决方法

首先，我建议不要使用浮点数，尤其是在指数中（即 2j）。您应该使用 sympy 的精确有理数，并且对 I 也使用 sqrt(-1)。

这给了我们：

In [11]: expr = sqrt(15/(2*pi))/4 * exp(2*I*y) * (sin(x))**2 * sin(x) * sqrt(cos(x))

In [12]: int_expr = Integral(expr,(x,2*pi))

In [13]: int_expr
Out[13]: 
2⋅π                                 
 ⌠                                  
 ⎮       2⋅ⅈ⋅y    3      ________   
 ⎮  √30⋅ℯ     ⋅sin (x)⋅╲╱ cos(x)    
 ⎮  ───────────────────────────── dx
 ⎮               8⋅√π               
 ⌡                                  
 0  

现在我注意到实际上可以从这个积分中取出无关的因素。我们可以使用 factor_terms 来做到这一点：

In [14]: factor_terms(int_expr)
Out[14]: 
           2⋅π                      
            ⌠                       
     2⋅ⅈ⋅y  ⎮     3      ________   
√30⋅ℯ     ⋅ ⎮  sin (x)⋅╲╱ cos(x)  dx
            ⌡                       
            0                       
────────────────────────────────────
                8⋅√π                

看到剩下的积分，值得知道的是，当您有一个没有自由符号的积分（被积函数中唯一的符号是虚拟积分符号）时，您通常可以通过对积分进行数值计算来获得更快的近似结果:

In [15]: Integral(sin(x)**3 * sqrt(cos(x)),2*pi))
Out[15]: 
2⋅π                      
 ⌠                       
 ⎮     3      ________   
 ⎮  sin (x)⋅╲╱ cos(x)  dx
 ⌡                       
 0                       

In [16]: _.n()
Out[16]: -0.e-103 + 0.e-103⋅ⅈ

这表明积分基本上为零。

在某些情况下，用于符号积分的算法可能非常慢。这是许多积分算法的普遍问题，它们通常对输入的确切形式非常敏感。您不应该对 sqrt(cos(x)) 的附加因子改变事情感到惊讶：它会使手动积分变得更加困难，并且积分没有“乘积规则”。在这个例子中，“heurisch”算法很慢，所以你可以设置 heurisch=False 来禁用它，但其他算法都不能评估积分，所以你不会得到结果。

通常替换会使积分更容易，您可以要求 sympy 显式进行替换。在这种情况下，我们可以使用替换 z = cos(x)，但我们需要将积分分成从 0 到 pi 和从 pi 到 2*pi 的两部分，以便每个部分的替换都是单调的：

In [30]: Integral(expr,pi))
Out[30]: 
π                                 
⌠                                 
⎮      2⋅ⅈ⋅y    3      ________   
⎮ √30⋅ℯ     ⋅sin (x)⋅╲╱ cos(x)    
⎮ ───────────────────────────── dx
⎮              8⋅√π               
⌡                                 
0                                 

In [31]: Integral(expr,pi)).transform(cos(x),z)
Out[31]: 
1                           
⌠                           
⎮         ⎛     2⎞  2⋅ⅈ⋅y   
⎮  √30⋅√z⋅⎝1 - z ⎠⋅ℯ        
⎮  ────────────────────── dz
⎮           8⋅√π            
⌡                           
-1                          

In [32]: Integral(expr,z).doit()
Out[32]: 
     2⋅ⅈ⋅y          2⋅ⅈ⋅y
√30⋅ℯ        √30⋅ⅈ⋅ℯ     
────────── + ────────────
  21⋅√π         21⋅√π    

In [33]: _ + Integral(expr,pi,2*pi)).transform(cos(x),z).doit()
Out[33]: 0