O(|V| * k) 是否等于 O(|E|)？

如何解决O(|V| * k) 是否等于 O(|E|)？

我假设在表示邻接列表时，我们需要遍历所有顶点及其邻居，因此构建邻接列表的时间复杂度为 O(|V| * k) 其中 V 是顶点的集合，k是某个顶点的邻居数（如果图是完整的，则 k = |V| - 1）。然而，我遇到的每个资源都表明，构建邻接表的时间复杂度是 O(|E|)，其中 E 是边的集合。

由于我们考虑的是最坏情况，因此图的最坏情况是连通图，其中 |E|等于 (|V| 2) = (|V| * (|V|-1))/2。如上所述，从完整图中构建邻接表需要迭代所有顶点及其邻居。此操作的时间复杂度为 |V| * k 其中 k 是 |V|-1。所以，它应该是 O(|V| * (|V|-1)) => O(|V|^2)。 由于我们发现边的数量是 (V * (V-1)) / 2 => O(|V|^2)，那么两个复杂度，O(|V| * k) 和 O(|E| ) 应该是一样的。

让我困惑的是为什么人们更喜欢使用 O(|E|) 而不是 O(|V| * k)？

解决方法

O(|V| * k) 是否等于 O(|E|)？

是的。

其中 V 是顶点集，k 是某个顶点的邻居数

此定义不正确，因为 k 取决于 “特定顶点”`，因此您需要将其定义为最大度数（顶点具有的最大边数）以便有一个可用的定义。

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注意max-degree，O(maxdeg * |V|) 不等于O(|E|)。最大度数是比 |E| 更差的复杂度近似值。

想象一个图，它有一个顶点有 1_000 条边，但其他每个顶点只有 1 条边。

但是由于 Big-O 只定义了上限，所以算法当然仍然在 O(maxdeg * |V|) 中。

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在任何情况下，您最多只能查看图中的每条边一次，因此 |E|。边的数量是所有顶点的所有出边的总和，即您试图用 |V| * k 表示的内容。所以两者完全相同。即

|E| = sum (v * outdegree(v))

（在这种情况下，k 不是最大度数，而是特定于每个 v 的出度数）

让我困惑的是为什么人们更喜欢使用 O(|E|) 而不是 O(|V| * k)？

一般来说，更常见的是将图视为具有顶点和边的实体，操作依赖于 V 和 E。只说 O(|E|) 比从 “顶点和它们的出边”角度看它使事情变得过于复杂要简单得多。