我怎样才能解决 $n*log_2(n)$ 与 $n^{log_3(4)}$ 的酸橙

如何解决我怎样才能解决 $n*log_2(n)$ 与 $n^{log_3(4)}$ 的酸橙

我想在不使用计算器或任何软件的情况下手动计算这两个函数（$n*log_2(n)$ vs. $n^{log_3(4)}$）中的哪一个具有更高的渐近递增。>

到目前为止，我的方法是：

lim n-> inf: \frac {$n*log:2(n)$} {$n^{log_3(4)}$}

现在使用 L´Hospital 并导出每个函数： \frac {$log_2(n)$ + $1/ln(2)n$ } {$log_3(4) n^{log_3(4) -1}}

现在再次使用 L´Hospital： \frac {$1/(ln(2)*n)$ + $1/(ln(2)*n) $} {$1/ln(3)4 $ * $n^{log_3(4)-1}$ + $log_3(4)-1 * n^{log_3(4)-2} * log_3(4) $}

我的问题：如果我这样计算会导致错误的解决方案。有没有人知道如何正确解决这个问题？

解决方法

编辑：我也注意到你的一阶导数不正确。

您对 L'Hopitals 规则的一阶导数和二阶评估不正确。

你开始于：
f(n)=n*log2(n)
g(n)=n^(log3(4))

这给出：
f'(n)=log2(n) + n * (1/ln(2)) * n^(-1)
=log2(n) + 1/ln(2)
g'(n)=log3(4) * n^(log3(4)-1)

这给出：
f''(n)=(1/ln(2)) * n^(-1)
g''(n)=log3(4) * (log3(4)-1) * n^(log3(4)-2)

如果你在第一个推导中出错，你会得到 f''(n)=(1/ln(2)) * n^(-1) - (1/ln(2)) * n^(- 2)，这仍然允许您分解 n 并产生相同的最终结果。

既然你有 n 个，你可以把它算出来：
f''(n)/g''(n) = 1/[ln(2) * log3(4) * (log3(4)-1) * n^(log3(4)-2+1)] = 1/[ln(2) * log3(4) * (log3(4)-1)] * n^(1-log3(4))]
现在可以表示为：
k * n^(1-log3(4)) 其中 k>0.
并且这个接近无穷大的极限是 0。这意味着 n^log3(4) 比 n * log2(n) 具有更大的渐近线。

或者，您可以先简化。 请注意，两者都有一个可以删除的因子 n，因此您可以使用：
f(n)=log2(n)
g(n)=n^(log3(4)-1)

f'(n)=(1/ln(2)) * n^(-1)
g'(n)=(log3(4)-1) * n^(log3(4)-2)

f'(n)/g'(n) = (1/ln(2)) * n^(-1-log3(4)+2)/(log3(4)-1)
=(1/ln(2)) * n^(1-log3(4))/(log3(4)-1)

同样，极限为 0，这意味着 n^(log3(4)) 具有更大的渐近线。

唯一需要知道的是 log3(4) 大于 1，因为 4 大于 3。 这意味着 (log3(4)-1)>0 和 (1-log3(4))

还要记住，正确的结果可能与您认为的不同。当 n~= 30 000

时，这两个方程交叉

另外，我不确定这是否属于这里或数学。