这些函数中哪个对无穷大有更高的增量？

如何解决这些函数中哪个对无穷大有更高的增量？

我想比较两个给定函数的渐近递增，看看它们中哪一个有更高的递增。

给定函数 f(n) = n*ln(n) 和 g(n)= $e^log_2(n)$，我的解决方案如下图所示：

结果是，n*ln(n) 更快。看图表，我不相信。谁能告诉我怎么解决？

解决方法

您的图表说实话，g(n) 的增长速度比 f(n) 快。原因如下：

关键方程如下

log_a(x) = log_b(x)/log_b(a)                         (*)

根据定义很容易证明

b^{log_a(x)log_b(a)} = (b^{log_b(a)})^{log_a(x)}     ; t^{sr} = (t^s)^r
                     = a^{log_a(x)}                  ; b^{log_b(a)}=a
                     = x.

（证明是完整的，但你可以在两边取log_b进一步说服自己）

现在我们可以在我们的特殊情况下使用 (*)：

log_2(n) = log_e(n)/log_e(2)                         (**)

并得到

g(n) = e^{log_2(n)}                                  ; def of g(n)
     = e^{log_e(n)/log_e(2)}                         ; (**)
     = (e^{log_e(n)})^{1/log_e(2)}                   ; t^{s/r} = {t^s}^{1/r}
     = n^{1/log_e(2)}                                ; e^{log_e(n)}=n
     = n^{log_2(e)}                                  ; (*) for x=b=e,a=2

但由于 e > 2，我们推导出 log_2(e) > 1，比如说，log_2(e) = 1 + δ，与 δ > 0。于是

g(n) = n*n^δ

我们现在要比较 g(n) 和

f(n) = n*ln(n)                                       ; def of f(n)

这与比较 n^δ 和 ln(n) 相同。为此我们可以计算

lim n^δ/ln(n)

与

相同

lim x^δ/ln x                                         ; x → ∞

我们可以在哪里使用 L'Hôpital 规则

lim δx^{δ-1}/x^{-1} = lim δ x = δ lim x = ∞          ; δ > 0. 

因此

lim g(n)/f(n) = ∞

和 g(n) 的增长速度比 f(n) 快。