我如何说服 Sympy 对 1961 年 MIT 本科微积分问题进行 SAINT 的简化？

如何解决我如何说服 Sympy 对 1961 年 MIT 本科微积分问题进行 SAINT 的简化？

James R Slagle MIT 论文的程序解决大一微积分中符号积分问题的启发式程序，符号自动积分器（SAINT）是著名的（ish）作为第一个实用的“专家系统”符号积分器，并且能够解决麻省理工学院本科微积分测试中的所有问题（迂腐地，漏掉了几个，但它可以解决它们；在此处详细说明in this excellent YouTube video）>

他的论文可在此处免费获取：https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/11997

我很高兴在这方面尝试 Sympy，因为它看起来平易近人，而且是一个相当困难的简化我碰巧已经有了答案.. 然而，Sympy 并没有将积分简化为如此好的（主观？）简化，因为1961 年的程序（尽管它确实返回了等效的结果！）

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问题与猜测

如何说服 Sympy 简化为相同的等式？
为什么没有得到相同的、看似简单的结果？

也许它选择了第一个可能的结果，或者 tan**3 决定更糟？如果是这样，为什么不简化 SAINT 的输出？）

也许当它找到一些匹配的 Fu-routine 时它会沿着不同的分支？

考试题 3c

Sympy 简化

from sympy import *
x = symbols("x",real=True)  # should this be assumed?
expr_inner = (x**4) / ((1 - x**2)**Rational(5,2))
expr_integral = integrate((expr_inner),x)
print(simplify(expr_integral))

(x**4*asin(x) + 4*x**3*sqrt(1 - x**2)/3 - 2*x**2*asin(x) - x*sqrt(1 - x**2) + asin(x))/(x**4 - 2*x**2 + 1)

等式的证明

from sympy import *
x = symbols("x",real=True)  # should this be assumed?
expr_saint = asin(x) + Rational(1,3)*tan(asin(x))**3 - tan(asin(x))
expr_sympy = (x**4*asin(x) + 4*x**3*sqrt(1 - x**2)/3 - 2*x**2*asin(x) - x*sqrt(1 - x**2) + asin(x))/(x**4 - 2*x**2 + 1)
expr_saint.equals(expr_sympy)  # alternatively simplify(expr_saint - expr_sympy) https://stackoverflow.com/a/37115190/

True

方程显示

解决方法

主要部分是分解 asin(x) 并将其从分数中分离出来。之后，sympy 就可以证明这两个表达式是相等的：

from sympy import *
from IPython.display import Math,display
x = symbols("x",real=True)  # should this be assumed?
expr_saint = asin(x) + Rational(1,3)*tan(asin(x))**3 - tan(asin(x))
expr_sympy = (x**4*asin(x) + 4*x**3*sqrt(1 - x**2)/3 - 2*x**2*asin(x) - x*sqrt(1 - x**2) + asin(x))/(x**4 - 2*x**2 + 1)

r=[]
r.append(latex(expr_sympy))
expr_sympy = expr_sympy.collect(asin(x))
r.append(latex(expr_sympy))
expr_sympy = apart(expr_sympy,asin(x))
r.append(latex(expr_sympy))

display(Math(" \\Longrightarrow ".join(r)))

display(simplify(expr_saint - expr_sympy))

输出：

Proper usage of `tf.scatter_nd` in tensorflow-r1.2

,

@wsdookadr 给了我缺少的简化步骤；显示 apart() 可以很容易地自行导出 asin(x)（这显然是一个公因子），因此创建一个非常相似但比 SAINT 输出更简化的形式。

更多地按照这些思路思考，SAINT 输出并没有像它应该的那样简单，因此在比较之前应该进一步简化（据我所知，SAINT 的设计目的不是为了在集成后继续简化）

• 首先使用 ratsimp() 将结果强制转换为单个分数会促使 Sympy 清理分母（这会合并分数）
• 调用 apart() 会将它们分开，但它们仍然被简化

这给出了更预期的匹配