找到一个接受语言 L = { a^{n!} : n >= 0 } 的线性有界自动机

如何解决找到一个接受语言 L = { a^{n!} : n >= 0 } 的线性有界自动机

我需要为语言 L = { a^{n!} : n >= 0 } 构造线性有界自动机。我知道 LBA 的功能，但是，我不知道它如何检查 n!那要在权力中了。我可能想听听一些建议，因为我在为其开发特定的 LBA 时遇到了困难。

解决方法

线性有界自动机是一种多带非确定性图灵机，其带长度受输入长度的某个固定线性函数的限制。也就是说，可用的磁带数量必须从输入的长度提前知道，并且该长度必须随输入大小线性增长。如果我们可以确定这种语言的图灵机，并表明我们确切知道将使用多少磁带作为输入长度的函数，并且该函数是线性的。我们已经证明 TM 是 LBA。

考虑以下多带非确定性图灵机检查输入是否为a^(n!)：

1. 如果输入磁带为空，则停止拒绝
2. 在第二盘磁带上写一个
3. 扫描输入磁带，如果只有一个剩余实例，则停止接受
4. 否则，回到输入的开头
5. 然后，为您找到的每 n 个实例在输入中划掉 (n-1) 个 a 实例。为此，将第二个磁带头向右移动到 n-1，当您到达第二个磁带上最后一个 a 之后的空白处时，将您所在的 a 留在输入磁带上，重置第二个磁带头，然后继续这个过程
6. 如果在第 5 步中尝试划掉除第 n 个之外的所有实例时，最终用完输入磁带上的 a 实例，请停止拒绝，因为输入磁带大于 (n-1)！但不能被 n 整除。
7. 否则，如果在完成第二个磁带的完整计数的同时用完 a 的实例，请重置两个磁头，将另一个 a 写入第二个磁带的末尾，然后从步骤 3 继续执行该过程.

以下是此 TM 功能的示例：

Input:  #aaaaaa#    #aaaaaa#    #xaaaaa#    #xaaaaa#
         ^       =>  ^       =>   ^      =>    ^
Second: ########    #a######    #a######    #a######
         ^           ^            ^          ^
       
        #xaxaaa#    #xaxaaa#    #xaxaxa#    #xaxaxa#
   =>       ^    =>      ^   =>       ^  =>   ^
        #a######    #a######    #a######    #aa#####
          ^          ^            ^          ^

        #xxxaxa#    #xxxxxa#
   =>       ^    =>       ^  => halt-accept since we are at the end
        #aa#####    #aa#####    of the tape and looking at a blank
          ^            ^        on the second tape and only one a
                                remains

对该 TM 工作方式的简单分析表明，使用的附加磁带单元的数量不能超过输入使用的磁带单元的数量。因为我们只使用额外的磁带单元来写下当前的除数，以及所有 n 值足够大的除数！小于 n!，播放中的磁带单元总数（包括输入）肯定小于 2*|input|。但是 2*|输入|是输入大小|input|的线性函数，所以这个TM也是一个LBA。