如何解决拟合通过特定点的幂/指数曲线
我想拟合指数或渐近模型:
或
重要的是模型应该是凹面的,并显示出某种饱和效果。
我们有 2 个外生变量 x1、x2 和一个约束:拟合曲线应该穿过原点和另一个点。
如果我适合我的函数,我可以得到这个,这对于一个变量来说非常好。
n1 <- nls(y ~ A*x1^(B),start=list(A=80,B = 0.5),data = a)
现在我想添加第二个变量 x2,它只会影响曲率,并且基本上会通过相同的右上角点。
我尝试了一些方法,例如将 x2 添加为参数 b 的乘积,但结果完全改变了曲线的水平,这是我不想要的。
这是我可以为 x2 的 5 个不同值建模的输出示例
我对 python 和 scipy curve_fit 很满意,所以如果你觉得用 python 分享见解更舒服,我很高兴。
编辑:
x2 是与 x1 一起观察到的另一个变量。我也想用 x2 来解释 y。例如,假设 x2 和 y 之间存在线性关系。
现在,我希望自变量 x2 能够影响曲率。上下文告诉我变量 x2 不能移动曲线的水平,无论 x2 的值是多少,y 应该总是通过最上面的点,但是,x2 确实会影响曲率。
我该如何建模?
我知道如您所说,我需要扩展函数形式才能仅表达 x2 对曲率的影响,但无法弄清楚。
解决方法
这实际上是一道数学题,而不是一道编程题。让我们采用饱和指数(它具有三个参数,因此限制其中两个参数以强制曲线通过 (0,0) 和最右边的点(我将其称为 (xr
,yr
))将留下一个自由参数。鉴于 f(x) = a-(a-b)*exp(-c*x)
- 如果我们想要
f(0)=0
,我们需要设置b=0
(数学留作练习) -
f(xr)=yr
怎么样?
a*(1-exp(-c*xr)) = yr ## set b=0
a = yr/(1-exp(-c*xr)) ## solve for a
以下是一些示例数据:
xvec <- 0:100
set.seed(101)
dd <- data.frame(x=xvec,y=rnorm(length(xvec),3*(1-exp(-0.03*xvec)),sd=0.2))
yr <- dd$y[length(xvec)]
xr <- dd$x[length(xvec)]
这是一个实现上述代数的函数:
cfun <- function(x,c) {
a <- yr/(1-exp(-c*xr))
return(a*(1-exp(-c*x)))
}
plot(y~x,data=dd)
points(c(0,xr),c(0,yr),pch=16,col=2)
curve(cfun(x,0.01),add=TRUE)
curve(cfun(x,0.04),.1),add=TRUE)
在这种情况下,我选择使用最右边的点,它碰巧不是最上面的点,但您可以为 xr
、yr
...
如果您想让曲率取决于另一个变量(例如 x2
),您可以使 c
成为该变量的线性函数,例如
nls(y~ cfun(x1,c=d+e*x2),data=...,start=list(d=0.03,e=0))
对于幂律形式(已经满足 (0,0) 约束),根据 a
、xr
和 yr
求解 b
,并按上述进行...
a*xr^b = yr
a = yr/(xr^b)
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