如何解决用 numpy 在 Gram 矩阵上求解线性方程
考虑这样一种情况，给定一个 MxM 矩阵 A 和一个向量 b，我想解决 inv(A @ A.T) @ b 形式的问题（我知道 A 是可逆的）。
据我所知，使用 solve_* 而不是 inv 总是更快。还有一些变体可以使用 Cholesky 分解来更有效地求解 PSD 矩阵（必须是 A @ A.T）。
我的问题 - 因为我正在构造矩阵 A @ A.T 只是为了立即将其扔掉 - 是否有更专业的程序可以用 A 的克矩阵求解线性方程而无需构造它？
解决方法
您可以计算 A 的因式分解，然后使用它来求解您的系统。
假设我们要解决
A A^T x = b
对于x。
计算 A=LU 的因式分解。
然后为 Ay=b 求解 y。
然后为 A^T x = y 求解 x。
这样您就不必计算矩阵 A^T A。
请注意，如果有 A=LU 的因式分解，则可以有效地求解 Ax=b 以及 A^T x=b 的 x。
这是因为 A^T=U^T L^T 又是一个下三角矩阵的因式分解。
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