如何解决如何推导出Heapify算法的最坏情况时间复杂度?
我想知道如何推导出堆数据结构的 Heapify 算法的时间复杂度。
我是根据 Ellis Horowits 所著的《计算机算法基础》一书提出这个问题的。我正在添加一些算法的截图以及书中给出的推导。
算法:
最坏情况复杂度的推导:
我理解了这个计算的第一部分和最后一部分,但我无法弄清楚 2^(i-1) x (k-i)
是如何变成 i2^(k-i-1)
的。
我在互联网上可以找到的所有推导都采用了不同的方法,即以不同的方式考虑树的高度。我知道这种方法也会导致相同的答案,但我想了解这种方法。
您可能需要以下信息:
2^k-1 = n
或近似 2^k = n
,其中 k 是级别数,从根节点开始,根的级别为 1(不是 0),n 是节点数。>
还有 Adjust()
函数的最坏情况时间复杂度与它调用的子树的高度成正比,即 O(log n,其中 n 是子树中元素的总数树。
解决方法
这是一个变量替换。
首先,意识到在等式的最左边,和的最后一项为零(因为当 i = k
,k-i = 0
时)。所以,第一次求和的范围可以写成1 <= i <= k-1
。现在,将 i
替换为 k-i
。 i
迭代集合 {1,2,...,k-1}
和 k-i
迭代集合 {k-1,... 2,1}
,它们是同一个集合,因此,我们可以做这个替换。
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