最后一个数字 - 编程之家

如何解决最后一个数字

我正在Codewar中解决 Last digit of a huge number。

我设法找到一种计算odd number ^ odd number和odd number ^ even number的方法。但是，由于数字与其幂的mod之间的关系不明显，所以我陷入了even ^ even/odd中。

这就是我设法得到的：

lastDigit :: [Integer] -> Integer
lastDigit = (`rem` 10) . go
  where
    go [] = 1
    go [x] = x
    go (x : y : r)
      | odd x && odd y = x ^ (go (y : r) `rem` (x + 1))
      | odd x && even y = x ^ (foldMod y (go r) (x + 1))
      | otherwise = -- any hint?

foldMod :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
foldMod _ 0 _ = 1
foldMod base 1 modulo = base `rem` modulo
foldMod base power modulo = (base * foldMod base (power -1) modulo) `rem` modulo

任何人都可以对偶数情况给出一些提示吗？

解决方法

我建议重新考虑您的方法，并从更通用的功能开始。具体来说，您可以计算

powMod :: Integer -> [Integer] -> Integer

powMod base exponents在哪里计算问题mod base中描述的指数塔？请注意，在递归时，您将使用不同的base进行递归-因为各个第一指数的循环长度不一定是base的所有约数。例如，在以10为底的数字中，最后四个数字为7个周期的第一个指数（而不是每十个）出现一次。权力的最后一位像这样：

x               0 1 2 3 4 5 6 7
7^x `mod` 10    1 7 9 3 1 7 9 3

您还需要注意以下情况：在到达的最终周期中，第一个指数本身不是其本身；例如，在基数4中，我们有：

x              0 1 2 3 4 5 6 7
2^x `mod` 4    1 2 0 0 0 0 0 0

因此，即使循环长度为x `mod` 1，也无法查看 just 2^x `mod` 4并推断出1是什么。（还有其他示例，例如2^x `mod` 12，其中循环长于1，但其中仍然没有原始的2。）

您不需要计算整数就可以知道最后一位，有一些快速方法和不太快的方法都可以计算最后一位，而不必担心其他所有数字。

一种可以在 O（log b）时间中计算 a ^b的简单方法是利用以下等式：>

（a×b）mod m =（（a mod m）×（b mod m））mod m 。

这意味着我们每次都可以计算最后一位数字并进行处理。因此，这意味着只要我们可以表示最大为81的所有数字，就可以计算 a ^b mod m powMod m a b：

powMod :: Int -> Int -> Int -> Int
powMod m = go
    where go _ 0 = 1
          go a b | even n = r
                 | otherwise = (x * r) `mod` m
              where r = go ((a*a) `mod` m) (div b 2) `mod` m

如果我们假设我们可以计算模数，除以2，并在恒定时间内检查值是否为偶数，等等，则在 O（log b）中运行。

但是我们甚至可以通过查找周期来更快地做到这一点。假设我们必须计算7的幂，那么7 ^ 0是1，7 ^ 1是7，7 ^ 2 mod 10 = 9，依此类推。我们可以制作一个带有乘法的表：

× │  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
──┼─────────────────────
0 │  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 │    1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 │      4 6 8 0 2 4 8 6
3 │        9 2 5 8 1 4 7
4 │          6 0 4 8 2 6
5 │            5 0 5 0 5
6 │              6 2 8 4
7 │                9 6 3
8 |                  4 2
9 |                    1

因此，如果我们以7的幂为单位查看最后一位，我们将看到：

power  │     │  last digit
──────────────────────────
 0     │     │           1
 1     │ 7*1 │           7
 2     │ 7*7 │           9
 3     │ 7*9 │           3
 4     │ 7*3 │           1

因此，这意味着存在一个循环，实际上是在每次乘以7之后，我们移至下一个状态，并因此获得以下图形：

1  →  7  →  9  →  3
 ↖_______________/

因此，这意味着循环的长度为四。因此，这意味着如果我们必须将7乘以例如374的幂，那么我们知道这是93个长度为4的循环，因此没有影响，还有两个额外的移动，因此我们知道 7 ³⁹³为9，无需计算此数字。由于此类循环的最大长度为10，因此可以在固定时间内确定十进制数字的最后一位。