如何在Ologn中平衡此AVL树？

如何解决如何在Ologn中平衡此AVL树？

假设您有2个AVL树U和V，以及一个元素x，使得U中的每个元素均 x。您如何合并U，V和x来创建AVL树？哪种算法会产生O（log（n））时间复杂度？

所以我知道答案是，您只需创建一个BST，将x作为根，将U作为左子节点，将V作为右子节点，然后重新进行平衡。但是我如何证明它具有O（log（n））复杂性呢？

解决方法

如果两棵树的高度相同或相差最大，则您的方法是正确的（并且不需要平衡）。但是，当它们之间的差异更大时，则没有。

我们可以递归解决问题：

def merge(U,x,V):
    if h(V) > h(U) + 1:
        V.left = merge(U,V.left)
        # Note that h(V.left) can only increase,by at most 1,# so one rotation can fix all issues.
        if h(V.left) > h(V.right) + 1:
            V = rotate-right(V)
        return V

    if h(U) > h(V) + 1:
        U.right = merge(U.right,V)
        if h(U.right) > h(U.left) + 1:
            U = rotate-left(U)
        return U

    return new-node(x,U,V)

请注意，在每个调用以及可选的单个递归调用中，我们最多只能执行固定数量的工作。因此，复杂度为O(recursion_depth)。但是也应该容易看出，递归深度受树U,V的高度限制。而且每个高度都为O(log n)，因此我们可以得出结论merge也是O(log n)。