有人可以评估此​​功能的时间复杂度

如何解决有人可以评估此​​功能的时间复杂度

function    (n)
input : an  integer n
r ← 0
for i = 1 to n  //runs n times
    for j = i   + 1 to n     // runs n^2 times
           for k = i + j − 1 to n   //runs n^3 times
                r ← r + 1
return r

我的回答是O（n ^ 3），但是当我尝试使用sigma表示法找到它时，它总是以O（n ^ 2）结尾。

原始问题：

以下算法返回什么值？它的基本操作是什么？怎么
基本操作执行了多少次？给出最坏情况下的运行时间
Big Oh表示法的算法。

解决方法

tldr：该算法位于O(n^3)中。

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为什么？

计算执行r <- r + 1的频率。

如果有帮助，请以某种语言实施并执行，以使它感觉更好。例如，在Java中：

int n = 10;

int r = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
        for (int k = i + j - 1; k <= n; k++) {
            r++;
        }
    }
}

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简介

外部循环正确生成n个迭代。然后，第二个循环将生成n - 1,n - 2,n - 3,n - 4,...个世代。

最里面的循环取决于i，j和n。

例如，修复i = 1，然后让j从n - 1运行到1。您将获得k 1 + (n - 1)到n，这根本没有运行。然后运行1 + (n - 2)的{​​{1}}至n，最多运行2。

因此，使用n，您将获得i = 1。然后k = 2,3,4,...,n，您得到i = 2。重复并求和，直到k = 4,n + (n + 1)总共只产生i = n：

k = (n+(n-2))

对于带有i = 1 -> k = 2,5,6,n i = 2 -> k = 4,n,(n+1) i = 3 -> k = 6,(n+1),(n+2) . . . i = n -> k = (n+(n-2)) 的示例，它是：

n = 10

2,7,8,9,10 4,10,11 6,11,12 8,12,13 10,13,14 12,14,15 14,15,16 16,17 18 。

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k的值

现在请注意，循环只会执行到k为止。因此，您可以舍弃高于k <= n的{​​{1}}的所有值，并计算剩余值的迭代次数。

k

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总跑步次数

因此，每个参数都是n的值，它将产生2,10| 4,10|,13 10|,14 | 12,15 | 14,16 | 16,17 | 18 多次运行。这样做，您会得到：

k

对这些求和求和，您最终获得了总运行次数：

(n + 1) - k

哪个产生9,2,1 7,1 5,1 3,1 1 。

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公式和证明

确切的公式是：

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
      + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
              + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
                      + 3 + 2 + 1
                              + 1

如果您放下r = 95（不会影响复杂性），则可以简化为

sum_{i = 1}^{n - 1} ceil((n - i) / 2) * i

现在您可以轻松地看到并证明它在ceil中。