如何为类似“背包”的问题创建贪婪算法？

假设有n个球，每个球的权重最多为1。我们可以假设将这些球的权重放在数组W [1..n]中，其中0

我要为此设计一种有效的贪婪算法。我认为一个明显的选择（选择最大的第一和最小的第二）是不正确的。但是，如果我先选择最大的可用球，然后再选择第二个最大的球，那该怎么办？我认为这是正确的，但是我不确定如何证明这一点。这样做会产生普通的O（n ^ 2）算法。

这似乎是背包问题的一种变体，但是贪婪算法并不是最优的。

贪婪算法的常用证明模板是通过对k进行归纳，证明对于所有k≥0的算法，其前k个选择可以扩展为最优解。事实证明，您的两个想法都是正确的，每个贪婪算法都会将剩余的最大的球与（如果可能的话）任何与之匹配的球反复放入一个盒子中。

归纳法的基本情况k = 0是微不足道的。对于此步骤，请考虑与前k-1个框的贪婪解一致的最优解。设B为不在前k-1个盒子中的最重的球。贪婪包B中的B包。考虑可能性。

如果#k框出现在最佳解中，则后者满足归纳要求的条件。
如果贪婪解决方案本身在一个盒子中有B，则B不适合任何剩余的球，因此最优解决方案本身也有B，并且前k个决策都同意。
如果贪婪的另一个球有B，但是最优值只有B，那么我们可以通过将另一个球移到B的盒子来修改最优解。这种新的解决方案也是最佳的，并且满足归纳条件。
如果贪婪和最优具有不同球的B，那么我们可以在最优解中交换这些球以使其与贪婪解对齐。我们知道这是可能的，因为另一个盒子中的球不能大于B，因为可能大于B的k-1在两种解决方案中的包装方式相同。

您的第二个解决方案可以使用平衡的二进制搜索树在O（n log n）时间内实现。