订购背包问题的正确性/证明

如何解决订购背包问题的正确性/证明

小偷可以选择n个对象来窃取，但只有一个容量为 减轻M的重量。每个对象我的权重为w_i，利润为p_i。假设他还知道以下内容： 这些项目按增加的重量排序的顺序与它们排序时的顺序相同 通过降低价值。给出一个贪婪算法，以找到针对该变体的最佳解决方案 背包问题。证明正确性和运行时间。

所以我想出的贪婪算法是根据增加的权重（也就是减少的值）对商品进行排序。这意味着每重量的价格按降序排列。因此，小偷可以拿到价值最高的物品，直到重量>= M。运行时间为O(n log n)，因为排序花费O(n log n)，而遍历列表花费O(n)。我坚持的部分是正确性的证明。到目前为止，这是我的证明：

假设存在这样的情况，即上述解决方案（称为GA）不是最优的。将最佳解决方案称为OS，并将OS占用的项目按增值排序。由于OS比GA更理想，因此从GA获得的利润小于或等于从OS获得的利润。由于Google Analytics（分析）会采用获利/权重比最高的项目，因此第一个元素i必须大于或等于OS的第一个元素。因为OS更理想，所以必须存在一个i，它大于或等于GA集中的项目j。但是，由于GA和OS在同一个集合上完成，并且GA始终采用利润/权重最高的商品，因此OS中的i不能大于GA中的j。

有人可以提供证明吗？谢谢

解决方法

您的解决方案是有效的，并且运行时间的推论是正确的。在续篇中，假设输入是“去平凡的”，这意味着每个发生的对象实际上都适合背包，并且不可能选择整个输入。

排序产生的项目的排序均为

• 价值下降
• 增加体重

使其成为general knapsack problem的特例。有关作证证明的论据如下。让i'表示 breaking index ，它是排序序列中第一项的索引，被贪婪算法拒绝。为了清楚起见，请将相应的对象称为中断对象。请注意

w_j > w_i' for each j > i'

成立，这意味着贪心算法还会拒绝继破碎对象之后的每个对象（因为它不像破碎对象那样适合背包）。

总共，贪心算法会选择排序序列的前缀；我们旨在证明任何最佳解决方案（我们认为在续集中都已确定）具有相同的前缀。

请注意，最佳解决方案尽管是最佳的，但不会为其他对象留出空间。

针对一个矛盾，让k是出现在贪婪解中而不是最优解中的最小索引。由于不可能另外选择对象k作为最优解，因此（通过k的最小值）必须在最优解中包含一些具有索引的项

k' > k

允许在最佳解决方案中交换项目。为

w_k < w_k' and p_k > p_k'

在最优解中，对象k'可以用对象k替换，这会产生收益大于最优解之一的解决方案，这与最优性是矛盾的。 / p>

因此，贪婪解决方案中没有最优解决方案中缺少的项目，这意味着贪婪解决方案是最优解决方案的子集。另一方面，贪婪解在包含上是最大的，这意味着最优解不能包含贪婪解中缺少的项。

请注意，贪婪算法als对于一般背包问题很有用；取其中一个更好的贪婪解决方案和一个利润最大的项目，得出比率为2的近似算法。