选择n对以使对中的最大Δ尽可能小的贪心算法是什么？

如何解决选择n对以使对中的最大Δ尽可能小的贪心算法是什么？

我有 n 个大小的小狗和 n 个大小的小猫，我想配对一对小猫。特别是，我希望一对小猫和小猫之间的尺寸差异尽可能小。

什么是有效的贪婪算法，它选择 n 个小狗-小猫对，以使它们之间的大小差异尺寸差异最大的一对越小越好？更准确地说，用s_i表示幼犬i的大小，而s_j表示小猫j的大小。给定一对，令∆（i，j）= | s_i − s_j |。该算法应选择配对，以确保所有配对中最大的∆（i，j）尽可能小。

这里是一个例子：有三只大小为6、4和9的小狗，以及三只大小为8、7和3的小猫。如果将它们配对为，，，则最大Δ为6，而如果将它们配对，，，则最大Δ为1，这显然是最佳的（例如，小狗尺寸6只能与一只比小狗大≥1的小猫配对）。

解决方法

最优贪婪算法是：

从小到大对小狗进行排序（关系被任意打破）。表示这样的列表P。
从最小到最大对小猫进行排序（关系被任意打破）。表示这样的列表K。
根据对索引(P[0],K[0])，(P[1],K[1])，...，(P[n - 1],K[n - 1])选择对。

可以使用交换参数将这种选择证明是最佳的。

定义：如果存在两对 (a,d)和(b,c)，则列表具有倒置，使得{ {1}}和a < b。

引理1 ：所有没有倒置的排列都具有相同的∆。（您的任务：P，比较在c < d和a = b，c < d和a < b的情况下发生的情况）

声明：存在一个没有倒置的最佳安排。
证明。至少存在一个最优安排，我们称其为c = d。
如果O没有取反，我们就完成了。
将O和(a,d)交换为(b,c)和(a,c)之后，我们得到了一个优化的方案，其反演少了。初始排列最多可以具有C ⁿ₂个反转，因此，在最多C ⁿ₂个交换之后，我们得到无反转的最佳安排。

我们知道(b,d)和a < b。强迫其他不平等：

c < d和a <= c：
b <= d
|a - d| = max(|a - d|,|b - c|) >= max(|a - c|,|b - d|)和c <= a：
b <= d和|a - d| >= |b - d|然后|b - c| >= |a - c|
max(|a - d|,|b - d|)和a <= c：
d <= b和|a - d| >= |a - c|然后|b - c| >= |b - d|
max(|a - d|,|b - d|)和a >= c：
d <= b

在所有情况下，互换安排都不会增加∆值，并且我们知道初始安排具有最佳∆值，因此我们的主张是正确的。

通过引理1 和声明，贪婪算法是最佳的。