如何找到非线性函数等于零的点

如何解决如何找到非线性函数等于零的点

我有神经科学的非线性函数。 ad是一个参数，t是时间。

def alpha(t,ad):
    if t < 0:
        return 0
    else:
        return pow(ad,2) * t * np.exp(-1 * ad * t)

使用ad = 2时，它从x = 0上升到0.7，并在0处靠近x=3。

我可以通过间隔进行迭代来查找此函数何时接近或等于0。但是我只需要知道函数接近或等于0的位置即可。我想知道是否有任何方法可以找到它而无需迭代ex）与x = 0函数相交，或者导数等于0 ...

解决方法

我假定您要查找导数等于零的时间。您可以使用sympy做到这一点：

In [12]: from sympy import exp,Symbol,nsolve

In [13]: ad = 2

In [14]: t = Symbol('t')

In [15]: f = pow(ad,2) * t * exp(-1 * ad * t)

In [16]: f
Out[16]: 
     -2⋅t
4⋅t⋅ℯ    

In [17]: f.diff(t)
Out[17]: 
       -2⋅t      -2⋅t
- 8⋅t⋅ℯ     + 4⋅ℯ    

In [18]: solve(f.diff(t),t)
Out[18]: [1/2]

编辑：您在下面的答案提出了与OP中的问题不同的问题，因此我将对此进行更新：

您想找到这个零点：

In [5]: ad = Symbol('ad')

In [6]: t = Symbol('t')

In [7]: epsilon = Symbol('epsilon')

In [8]: f = pow(ad,2) * t * exp(-1 * ad * t) - epsilon

In [9]: f
Out[9]: 
  2    -ad⋅t    
ad ⋅t⋅ℯ      - ε

我们可以使用solve来解析地解决这个问题：

In [10]: sol,= solve(f,t)

In [11]: sol
Out[11]: 
  ⎛-ε ⎞ 
-W⎜───⎟ 
  ⎝ ad⎠ 
────────
   ad  

此答案是根据Lambert W函数给出的。您可以替换ad和epsilon以获得任何特定值的答案：

In [12]: sol.subs({ad:2,epsilon:0.01})
Out[12]: 0.00251259459155665

尽管它是Lambert W函数的分支W0，但它却使根接近零。另一个根由分支W_{-1}给出，并且是

In [32]: -LambertW(-epsilon/ad,-1)/ad
Out[32]: 
  ⎛-ε     ⎞ 
-W⎜───,-1⎟ 
  ⎝ ad    ⎠ 
────────────
     ad  

In [28]: (-LambertW(-epsilon/ad,-1)/ad).subs({ad:2,epsilon:0.01}).n()
Out[28]: 3.64199856754954

如果您只想用数字方法求解这些，则可以使用nsolve：

In [29]: nsolve(f.subs({ad:2,epsilon:0.01}),t,0)
Out[29]: 0.00251259459155665

In [30]: nsolve(f.subs({ad:2,1)
Out[30]: 3.64199856754954

,

我能够使用Oscar的答案找到解决方案。

1. 该函数是指数函数，因此它永远不会在0之后达到0
2. 我只是用负的ε拉了一点功能 （epsilon是用户定义的）
3. 会有两个零，我只需要第二个零。

from sympy import exp,solve

epsilon = 0.01
ad = 2
t = Symbol('t')
f = pow(ad,2) * t * exp(-1 * ad * t) - epsilon

print(solve([f],dict=True,quick=True))
#print(solve([t > 0,f],quick=True)) i get an error if i use this

但是，这种寻找接近零的x的解决方案所花的时间比仅在函数上按0.01的间隔进行迭代要花费更多的时间。

from sympy import exp,solve,Piecewise
import numpy as np

epsilon = 0.01
ad = 2
t = Symbol('t')
f = pow(ad,2) * t * exp(-1 * ad * t) - epsilon

#print(solve([f],quick=True))

def alpha(t,ad):
    if t < 0:
        return 0
    else:
        return pow(ad,2) * t * np.exp(-1 * ad * t)

def find(function,farg,arange,epsilon):
    xs = []
    for x in arange:
        if function(x,**farg) < epsilon:
            xs.append(x)
    return xs

if __name__ == "__main__":
    import timeit
    print(timeit.timeit("solve([f],dict=True)",setup="from __main__ import solve,f,t",number=100))
    print(timeit.timeit("solve([f],quick=True)",number=100))
    print(timeit.timeit("find(alpha,{'ad':ad},np.arange(0,4,0.01),0.01)",setup="from __main__ import find,alpha,ad,np",number=100))

输出

24.860103617
24.020882552
0.10911201300000073