使用SymPy / Python进行部分分数分解

如何解决使用SymPy / Python进行部分分数分解

如何找到这样的常数A，B，C，D，K，S

1/(x**6+1) = (A*x+B)/(x**2+1) + (C*x+D)/(x**2-sqrt(3)*x+1) + (K*x+S)/(x**2+sqrt(3)*x+1)

对于每个实数x都是正确的。

我可能需要一些不确定的代码。或任何其他可以在这里提供帮助的Python库。

我手动进行了尝试，但这一点都不容易：经过1小时的计算，我发现自己可能犯了一些错误。

我在SymPy中尝试了部分分数分解，但是进展不远。

我也尝试过Wolfram Alpha，但看起来它并没有分解到如此详细的水平。

WA attempt

请参阅下文WA提供的替代表格。

编辑

我完全手动进行了第二次尝试，得到了这些：

A = 0
B = 1/3
C = -1/(2*sqrt(3))
D = 1/3
K = 1/(2*sqrt(3))
S = 1/3

我该如何验证是否正确？

编辑2

我的问题的重点是：如何使用一些不错的/可重复使用的Python代码来做到这一点？

解决方法

您可以在sympy中使用apart来执行此操作，但是apart会默认查找有理因式分解，因此您必须告诉它可以在Q(sqrt(3))中使用：

In [37]: apart(1/(x**6+1))                                                                                                                     
Out[37]: 
        2                     
       x  - 2           1     
- ─────────────── + ──────────
    ⎛ 4    2    ⎞     ⎛ 2    ⎞
  3⋅⎝x  - x  + 1⎠   3⋅⎝x  + 1⎠

In [36]: apart(1/(x**6+1),extension=sqrt(3))                                                                                                  
Out[36]: 
       √3⋅x - 2            √3⋅x + 2           1     
- ───────────────── + ───────────────── + ──────────
    ⎛ 2           ⎞     ⎛ 2           ⎞     ⎛ 2    ⎞
  6⋅⎝x  - √3⋅x + 1⎠   6⋅⎝x  + √3⋅x + 1⎠   3⋅⎝x  + 1⎠