为什么纯错误解码对于小奇偶校验具有较高的错误校正率？

如何解决为什么纯错误解码对于小奇偶校验具有较高的错误校正率？

对于本文写的“通用集成交错代码”，我有一个疑问。文章提到，对Reed-Solomon（RS）码的擦除解码不会产生任何错误校正，但如果校正能力太低，则对RS码进行纯错误解码会导致较高的错误校正率。

根据我的理解，我认为擦除解码和纯错误解码之间的区别在于，擦除解码不需要计算错误位置。另一方面，仅错误解码需要知道错误位置，可以通过Berlekamp–Massey算法进行计算。我想知道仅错误解码的错误校正是否来自计算错误的错误位置？如果是，为什么错误校正率与RS码的校正能力有关？

解决方法

仅用于错误解码的错误校正来自计算错误的错误位置

是的。例如，考虑具有6个奇偶校验的RS码，它可以纠正3个错误。假设发生了4个错误，并且3次错误更正尝试又创建了3个错误，总共7个错误。它将生成一个有效的代码字，但会生成错误的代码字。

在某些情况下，可以降低错误校正的可能性。如果该消息是缩短的消息，例如说64个字节的数据和6个奇偶校验（总共70个字节），则如果3个错误的情况产生了无效的位置，则可以避免错误校正。在这种情况下，三个随机位置有效的几率是（70/255）^ 3〜= .02（2％）。

避免错误校正的另一种方法是不使用所有奇偶校验进行校正。使用6个奇偶校验，可以将校正限制为2个错误，剩下2个奇偶校验用于检测。或使用7个奇偶校验进行3次纠错，其中1个奇偶校验用于检测。

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根据评论进行跟进：

首先请注意，有3种解码器可用于BCH视图Reed Solomon：PGZ（彼得森·格伦斯坦·齐勒勒）矩阵解码器，BKM（Berlekamp Massey）差异解码器和Sugiyama的扩展Euclid解码器。 PGZ的时间复杂度O（（n-k）^ 3）比BKM或Euclid大，因此大多数实现使用BKM或Euclid。您可以在这里阅读有关这些解码器的更多信息：

https://en.wikipedia.org/wiki/Reed%E2%80%93Solomon_error_correction

返回6个奇偶校验，4个错误。所有有效的RS（n + 6，n）码字彼此至少相差7个元素。如果消息的4个元素有错误，则可能存在一个有效的码字，该消息与带有4个错误元素的该消息仅相差3个以上的元素，在这种情况下，所有3个解码器都会发现该消息与有效的字符有所不同码字乘以3个元素，然后“纠正”这3个元素以产生有效的码字，但是在这种情况下，错误的有效码字将与原始码字相差7个元素。如果5个元素有错误，则可能发生2或3个错误更正，而6个或更多 元素有误，则可能会发生1或2或3个错误更正。

无效的位置-考虑基于GF（2 ^ 8）的RS代码，该代码允许最大255个字节的消息大小。 255字节消息的有效位置是0到254。如果消息大小小于255字节，例如64数据+ 6奇偶校验= 70字节，则位置0到69是有效的，而位置70到254是无效的。在否则会出现错误校正的情况下，如果计算出的位置超出范围，则解码器将检测到不可校正的消息，而不是对其进行错误校正。假定出现乱码消息，并且解码器生成0到254范围内的3个随机位置，所有3个在0到69范围内的概率为（70/255）^ 3。

避免错误校正的另一种情况是错误定位器多项式的不同根的数量与多项式的次数不匹配。考虑具有生成的错误定位符多项式x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c的3错误情况。如果消息中存在3个以上的错误，则生成的多项式可能具有少于3个不同的根，例如双根或零根，或...，在这种情况下，避免了错误校正，并且将消息检测为无法纠正。