我如何证明以下算法？

如何解决我如何证明以下算法？

Exp(n)
  If n = 0
    Return 1
  End If
  
  If n%2==0
    temp = Exp(n/2)
    Return temp × temp
  Else //n is odd
    temp = Exp((n−1)/2)
    Return temp × temp × 2
  End if

我如何通过n的强归纳证明，对于所有n≥1，乘以 Exp（n）≤2 log2 n。

ps：Exp（n）= 2 ^ n

解决方法

一种简单的方法是使用strong induction。

• 首先，证明Exp(0)终止并返回2^0。

• 让N为任意甚至非负的数字。

• 假定函数Exp正确计算并为[0，N]中的每个2^n返回n。

• 在此假设下，证明Exp(N+1)和Exp(N+2)都终止并正确返回2^(N+1)和2^(N+2)。

您完成了！通过归纳法得出，对于任何个非负N，Exp(N)正确返回2^N。

PS：请注意，在本文中，2^N的意思是“ N的幂的二”而不是“ 2和N的二进制表示的按位异或”。

,

该程序将完全执行以下重复操作：

P[0] = 1
n even -> P[n] -> P[n/2]²
n odd  -> P[n] -> P[(n-1)/2]².2

1. 程序总是终止，因为对于n>0，n/2和(n-1)/2 < n，递归调用的参数总是减少。

1. P[n] = 2^n是重复发生的解决方案。确实，

• n = 0 -> 2^0 = 1
• n = 2m -> 2^n = (2^m)²
• n = 2m+1 -> 2^n = 2.(2^n)²

这涵盖了所有情况。

随着每次调用将n的有效位数减少1并执行一两次乘法，总数不超过有效位数的两倍。