欧米茄在连续过度松弛率法中有何意义？

如何解决欧米茄在连续过度松弛率法中有何意义？

我有以下矩阵

我已将其转换为严格占优的矩阵，并应用了Guass-Siedel和omega = 1.1的逐次超松弛率方法以及epsilon = 1e-4的容差，其收敛公式如下：

通过使用python手动解决此问题（不使用线性代数库），我发现这两种方法都具有相同的迭代次数（6），但是据我了解，矩阵是否在Gauss-Siedel和1

那么，我的理解正确吗？ SOR方法是否必须减少迭代次数？

解决方法

这实际上是我自己在尝试解决同一问题时遇到的一个问题。在这里，我将包括来自 GS 和 SOR 方法的第 6 次迭代的结果，并将分析我对为什么会这样的看法。对于初始向量 x = (0,0)。实际上，我们看到每种方法的 L 无穷范数都不同（见下文）。

对于高斯-赛德尔：

The solution vector in iteration 6 is: 
[[ 1.0001]
[ 2.    ]
[-1.    ]
[ 1.    ]]
The L infinity norm in iteration 6 is: [4.1458e-05]

对于 SOR：

The solution vector in iteration 6 is: 
[[ 1.0002]
[ 2.0001]
[-1.0001]
[ 1.    ]]
The L infinity norm in iteration 6 is: [7.8879e-05]

从学术上讲，“SOR 可以提供一种方便的方法来加速解决线性系统的雅可比和高斯-赛德尔方法。参数 ω 被称为松弛参数。显然，对于 ω = 1，我们恢复了原始方程。如果 ω 1，我们有过度松弛，我们将更关注它。它在多年的手工计算中发现，如果我们超越 Gauss-Seidel 校正，收敛速度会更快。粗略地说，这些近似值保持在解 x 的同一侧。过松弛因子 ω 使我们更接近解。随着 ω = 1，我们恢复 Gauss-Seidel；当 ω > 1，该方法被称为 SOR。ω 的最佳选择永远不会超过 2。它通常在 1.9 附近。"

有关 ω 的更多信息，您还可以参考 Strang,G.,2006 年“线性代数及其应用”一书的第 410 页以及论文 A rapid finite difference algorithm,utilizing successive over‐relaxation to solve the Poisson–Boltzmann equation。

基于上面的学术描述，我认为这两种方法都有 6 次迭代，因为 1.1 不是最佳的 ω 值。将 ω 更改为更接近 的值可能会产生更好的结果，因为过度松弛的全部意义在于发现这个最佳 ω。 （我再次相信这个 1.1 不是最佳的 omega，一旦我进行计算就会更新你）。图片来自 Strang,G.，2006 年“线性代数及其应用”第 4 版第 411 页。

编辑：确实通过在 SOR 中运行 omega - 迭代的图形表示，我的最佳 omega 似乎在 1.0300 到 1.0440 的范围内，并且这些 omega 的整个范围给了我五次迭代，这是一种更有效的方法比 omega = 1 时的纯 Gauss-Seidel 给出 6 次迭代。