R如何选择特征向量？

如何解决R如何选择特征向量？

给定具有重复特征值但无缺陷的矩阵时，R函数eigen如何选择特征空间的基础？例如，如果我在单位矩阵上调用eigen，它将为我提供标准依据。它是如何选择该基础而不是其他正交基础的？

解决方法

仍然没有一个完整的答案，但需要更深入地研究：eigen的源代码表明，对于实数对称矩阵，它称为.Internal(La_rs(x,only.values))

找到here La_rs函数，并且遍历代码表明它调用了LAPACK函数dsyevr

here中记录了dsyevr函数：

DSYEVR首先通过调用将矩阵A还原为三对角形式T 到DSYTRD。然后，DSYEVR尽可能调用DSTEMR进行计算 使用相对鲁棒表示法的特征谱。斯蒂姆 在正交的情况下，通过dqds算法计算特征值 特征向量是根据各种“良好”的L​​ D L ^ T表示来计算的 （也称为相对鲁棒表示）。

评论提供this link，其中提供了更多的说明性详细信息：

下一个任务是计算$ \ lambda-s $的特征向量。对于每个$ \ hat {\ lambda} $，算法小心都会计算出最优的扭曲因式分解 ... 通过自上而下和自下而上实施三角分解并在精心选择索引r ...

处将它们连接起来而获得

[添加重点]。强调的文字暗示细节上有些恶魔。如果想进一步深入兔子洞，看起来内部dlarrv function就是特征向量实际得到计算的地方……

有关更多详细信息，请参阅DSTEMR的文档和：

• Inderjit S. Dhillon和Beresford N. Parlett：“多种表现形式 计算对称三对角矩阵的正交特征向量，” 《线性代数及其应用》，387（1），第1-28页，2004年8月。
• Inderjit Dhillon和Beresford Parlett：“正交特征向量和 相对空白”，SIAM矩阵分析和应用期刊，第25卷，2004年。还有LAPACK工作说明154。
• Inderjit Dhillon：“用于对称的新O（n ^ 2）算法 三对角特征值/特征向量问题”， 计算机科学部技术报告编号UCB / CSD-97-971， 加州大学伯克利分校，1997年5月。

,

它可能使用了很久以前用FORTRAN编写的某种算法。

我怀疑对矩阵执行了将其调整为可以轻松确定特征值和特征向量的形式的过程。我还怀疑此过程不需要对单位矩阵进行任何处理即可将其转换为所需的形式，因此可以立即读取特征值和特征向量。

在简并特征值的一般情况下，您获得的答案将取决于此算法的细节。我怀疑是否有任何选择-就是它首先吐出来的。