通过求解受等式约束的不等式建立R中的套利策略

如何解决通过求解受等式约束的不等式建立R中的套利策略

我正在尝试构建套利投资组合 x ，以使S x = 0且A x > = 0 ，其中A是t = 1时的回报矩阵，S是t = 0时的价格。我无法手动执行此操作，因此我尝试使用 R 中 limSolve 和 lpSolve 程序包中包含的功能，但没有成功，因为我继续获取零向量（我需要非平凡的解决方案）。我也不知道如何自己编写代码。任何帮助或提示如何进行将不胜感激。谢谢！

    A = data.frame(
              cbind(
                 c(2,1,0),c(1,1),c(0,2),c(3,2,0)
              )
             ) %>% as.matrix()
f.con = A
    
    S = data.frame(
              cbind(
             c(1,1/3)
              )
             ) %>% as.matrix()

f.obj = c(t(S))

# Set unequality signs
f.dir <- c(">",">",">")

# Set right hand side coefficients
f.rhs <- c(0,0)

# Final value 
lp("min",f.obj,f.con,f.dir,f.rhs)$solution

# Variables final values
lp("max",f.rhs)$solution

解决方法

我们首先说明问题中的代码为何获得了结果。

请注意，存在x> = 0的隐式约束。

关于涉及平等约束的主题，问题中显示的代码中没有平等约束。

关于最小值，在lp参数>中表示>=，因此显然x = 0是可行的。假设目标向量的所有分量均为正，则得出最小值为0。从?lp

const.dir：给出方向的字符串向量 约束：每个值应为“ ，”或”> =“。 （在每对中，两个值是相同的。）

关于最大值，解没有上限约束，并且目标向量的成分均为正，因此没有有限解。线性程序是否成功应该始终在显示解决方案之前显示，如果不成功，则不应显示解决方案，因为它没有意义。

关于代码，cbind已经产生了一个矩阵，因此将其转换为数据帧然后再转换为矩阵毫无意义。同样，目标可以表示为纯矢量，约束的rhs可以表示为标量，将被回收到适当的长度。我们可以将问题中的代码等效地写为：

library(lpSolve)

A <- cbind(2:0,1,0:2,3:1,c(1,0))
S <- c(1,2,1/3)

res1 <- lp("min",S,A,">=",0)   
res1
## Success: the objective function is 0 
res1$solution
## [1] 0 0 0 0 0

res2 <- lp("max",0)
res2
## Error: status 3 

CVXR

如下所示，使用CVXR可以更容易地对此进行表述。

找到一个向量x，该向量满足Ax> = 0和Sx ==0。（A和S从上面开始。）我们添加约束-1

library(CVXR)

x <- Variable(5)
objective <- Maximize(sum(x))  # arbitrary objective
constraints <- list(A %*% x >= 0,sum(S*x) == 0,x >= -1,x <= 1)
problem <- Problem(objective,constraints)
soln <- solve(problem)

给予：

> soln$status
[1] "optimal"

> soln$value
[1] 1.66666

> soln$getValue(x)
           [,1]
[1,]  0.8788689
[2,]  0.4790521
[3,]  0.3087133
[4,] -0.9999857
[5,]  1.0000113

lp再次解决

要使用lpSolve进行此操作，请更改变量

x = 2*y-1

或等效地

y = (x+1)/2

可以转换

Ax >= 0
Sx == 0
-1 <= x <= 1

到

2Ay >= A1
2Sy >= S'1
0 <= y <= 1

所以我们写：

f.con <- rbind(2*A,2*S,diag(5))
f.dir <- c(rep(">=",3),"=",rep("<=",5))
f.rhs <- c(rowSums(A),sum(S),rep(1,5))

res3 <- lp("max",5),f.con,f.dir,f.rhs)
res3
## Success: the objective function is 3.333333 
2*res3$solution-1
## [1]  1.000000e+00 -4.966028e-13  6.666667e-01 -1.000000e+00  1.000000e+00