BFS的时间复杂度分析

我知道，关于BFS的时间复杂性还有很多问题，即： O（V + E）

但是我仍然很难理解为什么时间复杂度 O（V + E）而不是 O（V * E）

我知道 O（V + E）代表 O（max [V，E]），我唯一的猜测是它与图的密度，而不是算法本身，与Merge Sort不同，它的时间复杂度始终为 O（n * logn）。

我想到的例子是：

具有| E |的有向图= | V | -1 ，是的，时间复杂度为 O（V）
具有| E |的有向图= | V | * | V-1 | ，而实际上复杂度分别为 O（| E |）= O（| V | * | V |）顶点除了自身之外，其他所有顶点都具有出线边缘

我的方向正确吗？任何见解都将真正有帮助。

您的“思想实例”说明，复杂性不是 O（V * E），而是 O（E）。的确，与 V 相比， E 可以是很多，但是当您说复杂度为 O（E）时，这并不重要

连接图形后，您始终可以说它是 O（E）。在时间复杂度中包括 V 的原因是要覆盖其顶点比边缘多（因而断开连接）的图：BFS算法不仅必须访问所有边缘，而且还需要访问所有边缘。所有顶点，包括那些没有边的顶点，只是为了检测它们没有边。所以我们必须说 O（V + E）。

如果您遍历算法，则复杂性很容易消除。设Q为FIFO队列，最初它包含源节点。 BFS基本上执行以下操作

while Q not empty
  pop u from Q
  for each adjacency v of u
     if v is not marked
         mark v
         push v into Q

由于每个节点添加一次并删除一次，因此while循环执行了O（V）次。同样，每次我们弹出u时，我们都会执行| adj [u] | | adj [u] |的操作是的数量你的邻接。

因此，由于邻接的总和为O（E），所以总复杂度为所有V的总和（1+ | adj [u] |），即O（V + E）（对于无向图，2E；对于有向图，E一个）

请考虑一下当您有一棵树时的情况，即使有循环，您也要从根开始搜索，而目标是树的最后一片叶子。在这种情况下，您将遍历所有边缘，然后再到达目的地。

例如

在这种情况下，您将在实际找到3号节点之前先检查4条边。

这取决于邻接表的实现方式。一个正确实现的邻接表是一个顶点列表/数组，每个顶点条目都附加有相关边的列表。

关键是边缘条目直接指向其对应的顶点数组/列表条目，它们从不必须在顶点数组/列表中搜索匹配的条目，只需查找即可直。这样可确保边缘访问的总数为2E，而顶点访问的总数为V + 2E。这样总时间为O（E + V）。

在实现不正确的邻接列表中，顶点数组/列表没有直接索引，因此要从边条目到顶点条目，您必须搜索顶点列表O（V），这意味着总数时间是O（E * V）。