为什么SymPy无法将-x ** 3**2/3简化为x ** 2？

如何解决为什么SymPy无法将-x ** 3**2/3简化为x ** 2？

我正在尝试使用SymPy评估以下积分：

手工评估时，答案为−½log（28）。

在与x整合之前，我的工作与SymPy相匹配：

x,y = sp.symbols('x y',real=True)
z = 1 / (sp.root(y,3)*(x**3+1))
iz = z.integrate((y,-x**3,0)) # integrate with respect to y
print(iz)
# -3*(-x**3)**(2/3)/(2*(x**3 + 1))
iiz = iz.integrate((x,3)) # integrate with respect to x
print(iiz)
# -3*Integral((-x**3)**(2/3)/(x**3 + 1),(x,3))/2
print(sp.N(iiz))
# 0.833051127543801 - 1.4428868782084*I

看来，抛弃SymPy的是(-x**3)**(2/3)。这应该简化为x**2，但SymPy并不这么认为。手动简化，会得到我手工得到的相同答案：

print( sp.integrate(-3*x**2/(2*(x**3 + 1)),3)) )
# -log(28)/2

有没有更好的方法来解决这个问题？

解决方法

您的问题是sympy.root默认返回主根，而不是实根。为避免这种情况，可以使用sympy.root的第三个可选参数来指定您想要真实的根。以下将产生所需的结果：

import sympy as sp

x,y = sp.symbols('x y',real=True)
z = 1 / (sp.root(y,3,1)*(x**3+1))
iz = z.integrate((y,-x**3,0))
iiz = iz.integrate((x,3))
print(iiz)
# -log(28)/2

为解决您的名义问题，(-x**3)**(2/3)实际上是(-x**3)**0.666666666666667，因为那是您在Python上所拥有的分数。要更接近您想要的东西，您需要做：

import sympy as sp
x = sp.symbols('x',positive=True)
solution = (-x**3)**sp.Rational(2,3)
print(solution)
# (-1)**(2/3)*x**2

通常，除非您确实需要在所有多重解决方案，复杂性等方面考虑到理性力量，否则我建议避免使用理性力量。

,

在我的isympy会话中：SymPy 1.6.2

In [131]: z = 1 / (root(y,3)*(x**3+1))

In [132]: iz = z.integrate((y,0))

In [133]: iiz = iz.integrate((x,3))

In [134]: iiz
Out[134]: 
     2/3         
-(-1)   ⋅log(28) 
─────────────────
        2        

In [135]: N(iiz)
Out[135]: 0.833051127543801 - 1.4428868782084⋅ⅈ

In [136]: abs(iiz)
Out[136]: 
log(28)
───────
   2   

root文档讨论返回主根，除了提供k参数外，建议使用real_root：

In [137]: z = 1 / (real_root(y,3)*(x**3+1))

In [138]: iz = z.integrate((y,0))

In [139]: iiz = iz.integrate((x,3))

In [140]: iiz
Out[140]: 
-log(28) 
─────────
    2    

In [141]: N(iiz)
Out[141]: -1.66610225508760

因此，很明显，双积分具有多种解决方案，具体取决于根。看起来它们都具有相同的大小。听起来很合理，但是我的数学研究很遥远，所以我无法提供理论依据。

并通过k=2得到第三个解决方案：

In [146]: z = 1 / (root(y,2)*(x**3+1))

In [147]: iz = z.integrate((y,0))

In [148]: iiz = iz.integrate((x,3))

    In [149]: iiz
    Out[149]: 
    3 ____        
    ╲╱ -1 ⋅log(28)
    ──────────────
          2     

因此，在复平面中有3个解，它们的乘数-1,(-1)**(1/3),-(-1)**(2/3)和幅度相同。

-1.66610225508760
0.833051127543801 - 1.4428868782084⋅ⅈ
0.833051127543801 + 1.4428868782084⋅ⅈ

如果我们在k中引入整数符号z：

In [158]: z = 1 / (root(y,k)*(x**3+1))

In [159]: z
Out[159]: 
      -2⋅k    
      ─────   
        3     
  (-1)        
──────────────
3 ___ ⎛ 3    ⎞
╲╱ y ⋅⎝x  + 1⎠

双积分变为：

In [164]: iiz =z.integrate((y,0)).integrate((x,3))

In [165]: iiz
Out[165]: 
             -2⋅k          
             ─────         
     2/3       3           
-(-1)   ⋅(-1)     ⋅log(28) 
───────────────────────────
             2             

并进行iiz.subs({k:0})等操作，会产生上述复杂的解决方案。