如何解决求解广义特征向量和特征值以获得公共基础
我正在寻找在 Matlab 中解决广义特征向量和特征值问题。为此,我测试了两种方法。
- 如果广义问题被表述为:
然后,我们可以在每一边乘以 B^(-1),例如:
所以,从理论上讲,这是一个简单而经典的特征值问题。
最后,在 Matlab 中,我简单地使用了 A=FISH_sp
和 B=FISH_xc
:
[Phi,Lambda] = eig(inv(FISH_xc)*FISH_sp);
但是当我在一个简单的 Fisher 合成之后做出的结果是不正确的(约束条件太差,并且还会出现 nan
值。我不知道为什么我得到的结果与第二个不同下面。
总而言之,所使用的算法在第 7 页进行了描述。我遵循了该算法的所有步骤,并且在进行 Fisher 合成时似乎可以提供更好的结果。
这里是感兴趣的部分(抱歉,我认为 stakoverflow 上没有 Latex):
这里是我的这个方法的小 Matlab 脚本:
% Diagonalize A = FISH_sp and B = Fish_xc
[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);
% Applying each step of algorithm 1 on page 7
phiB_bar = V2*(D2.^(0.5)+1e-10*eye(7))^(-1);
bara = inv(phiB_bar)*FISH_sP*phiB_bar;
[phiA,vA] = eig(bara);
Phi = phiB_bar*phiA;
所以最后,我找到了 phi 特征向量矩阵 (phi) 和 lambda 对角矩阵 (D1)。
- 现在,我想将这个广义问题与 A 和 B 矩阵(分别是 Fish_sp 和 Fish_xc)之间的最终公共特征向量联系起来。有没有办法执行此操作?
确实,我到现在所做的就是找到A*Phi
和B*Phi
之间的平行关系,由Lambda对角矩阵链接。也许,我们可以这样安排这种关系:
A*Phi'=Phi'*Lambda_A'
和
B*Phi'=Phi'*Lambda_B'
然而,这是相同的表述。
编辑:
如果我想说 phi 对 A=FISH_sp 和 B=FISH_xc 矩阵都对角化,我会得到错误的结果。
确实如此:
% Marginalizing over uncommon parameters between the two matrices
COV_GCsp_first = inv(FISH_GCsp);
COV_XC_first = inv(FISH_XC);
COV_GCsp = COV_GCsp_first(1:N,1:N);
COV_XC = COV_XC_first(1:N,1:N);
% Invert to get Fisher matrix
FISH_sp = inv(COV_GCsp);
FISH_xc = inv(COV_XC);
% Diagonalize
[V1,D2] = eig(FISH_xc);
% Build phi matrix
% V2 corresponds to eigen vectors of FISH_xc
phiB_bar = V2*diag(diag(D2.^(-0.5)));
% DEBUG : check identity matrix => OK,Identity matrix found !
id = (phiB_bar')*FISH_xc*phiB_bar
% phi matrix
bara = (phiB_bar')*FISH_sP*phiB_bar
[phiA,vA] = eig(bara);
phi = phiB_bar*phiA;
% Check eigen values : OK,columns of eigenvalues found !
FISH_sP*V1./V1
% Check eigen values : OK,columns of eigenvalues found !
FISH_xc*V2./V2
% Check if phi diagolize FISH_sp : NOT OK,not identical eigenvalues
FISH_sP*phi./phi
% Check if phi diagolize FISH_sp : NOT OK,not identical eigenvalues
FISH_xc*phi./phi
所以,我没有发现特征向量矩阵 Phi
对角化 A 和 B,因为预期的特征值不是相同值的列。
顺便说一下,我发现特征值 D1
和 D2
来自:
[V1,D2] = eig(FISH_xc);
% Check eigen values : OK,columns of eigenvalues D1 found !
FISH_sP*V1./V1
% Check eigen values : OK,columns of eigenvalues D2 found !
FISH_xc*V2./V2
FISH_sP*phi./phi
FISH_xc*phi./phi
对于给定的 FISH_sp
和 FISH_xc
列没有给出相同的值)
)
??在论文中,他们说 phi
使 A=FISH_sp
和 B=FISH_xc
对角化,但我无法重现它。
如果有人能看到我的错误在哪里......
解决方法
您定义了 barA = inv(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar
。从方程。 (39) 在手稿中,它看起来应该是 barA = transpose(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar
。
此外,当 B
是单数时(逆不存在),您的方法 1 失败。但是,如果我没记错的话,MATLAB 的 eig(A,B)
也应该处理单数 B
。
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