连分数、级数和拉马努金最简单定理

如何解决连分数、级数和拉马努金最简单定理

基于 this 网络上有趣的演示，我试图通过编程来证明

我使用了 Octave，但我在计算中遇到了很大的错误。我的错误在哪里？

Diagram

代码如下：

function [ref,reali,err] = rama(n)
  a(1) = 1;
  for i=2:n
    a(i) = (2*i+1)*a(i-1);
  endfor
  b = 1./a;
  S = sum(b);

  p = '1';
  for k = n:-1:1
    s = int2str(k);
    p = ['1+' s '/( ' p ' )'];
  endfor
  P = str2num(p);
  P ^=(-1);

  ref = S + P;
  reali = sqrt(pi*exp(1)*0.5);
  err = abs(reali - ref);
endfunction

解决方法

我认为当涉及到递归分数的基本情况时，您做出了一个相当没有根据的假设，即在您决定停止时，最后一个“1 + 递归”步骤等于“1 + 0”（此外，砍掉最后一个递归部分不会对您的解决方案产生太大影响）。

事实上，被砍掉的位（通过反复试验）结果是“1 + π”而不是“1 + 0”，而且事实证明，砍掉它会一路传播一个大错误，对结果影响很大。

修改计算中的基本情况以解决缺失的 π 使您的近似值更加准确。

  for k = n:-1:2
    s = int2str(k);
    p = ['1+' s '/( ' p ' )'];
  endfor
  p = ['1+1/( ' p ' + ' num2str(pi) ' )'];

octave:1> [ ref,reali,err ] = rama(5)
ref = 2.0613
reali = 2.0664
err = 5.0994e-03