大O符号-寻找复杂性

如何解决大O符号-寻找复杂性

我正在做一个测验-除以下片段外，我一切都很好。帮助我了解这是哪种表示法？

我的选择是：O（n ^ 2），O（n ^ 3），O（nlogn）和O（n + n ^ 2）

代码段为：

   for (int i = 0; i < n; i++) { 
     System.out.println("hello");
   } 
   for (int i = 0; i < n; i++) { 
     for (int j = 0; j < i; j++) { // NOTE j < i here. 
       System.out.println("hello");
     }
  } 

解决方法

第一个循环很简单：主体精确运行n次，所以运行O(n)。

第二个需要更多的思考。显然，外循环运行了n次，但是内循环主体多久执行一次？第一次通过外循环，我们有i == 0，所以内循环主体被执行0次（j < i也为j == 0是错误的）。第二次i == 1，因此执行内循环主体1次。通常，它i执行了i = 0,...,n-1次。

因此，内循环主体的执行总数为S，为S = 0 + 1 + ... + n-1。现在有一个很好的技巧，可以将其变成闭合形式的方程式。写下一次，然后再反向写下一次：

 S =  0  +  1  + ... + n-2 + n-1
 S = n-1 + n-2 + ... +  1  +  0

然后将两个方程式相加：

 S  =  0  +  1  + ... + n-2 + n-1
 S  = n-1 + n-2 + ... +  1  +  0
------------------------------- +
2*S = n-1 + n-1 + ... + n-1 + n-1

因此2*S等于n乘以n-1。由此，我们很容易找到S = n * (n-1) / 2。可以将其重写为S = ½*n^2 - ½*n。在big-O形式中，只有最高阶的项保留下来，常数½无关紧要，因此O(n^2)就是这样。

获得相同结果的另一种“手摇式”方法是：内部循环平均运行n/2次（给定或取一个），而外部循环再次运行n次给O(½*n*n) = O(n^2)。

结合第一个循环的O(n)（与O(n^2)渐近无关），预期答案可能是O(n^2)。

但是请注意，O(n+n^2)在技术上也是正确的，因为O(n + n^2) = O(n^2)。同样，低阶项n渐近无关紧要。从技术上来说，即使O(n^3)也是正确的，因为n^3主导n^2；但是，复杂度既不是Ω(n^3)也不是θ(n^3)。

,

（这就是我的想法，我没有评论，因为我没有足够的声誉，但是我想把它排除在外）

第一个循环是线性的，因此复杂度仅为O(N)。

但是，对于第二个/第三个循环，第二个循环是循环N次的循环。内部循环将运行N/2时间，因为j总是小于i（并且永远不等于）。因此，这些循环的复杂度为N(N/2)或N^2/2。由于Big O是一个常数，N/2和N - 1是同一时间，所以我们也可以说它是N(N-1)或N^2 - N。

如果将两个复杂度加在一起，我们将得到(N) + (N^2 - N)，得到N^2。因此，最终结果为O(N^2)。