如何解决通过Python中的正交回归拟合平面
我想在Python中使平面适合一组点（x，y，z）。我发现了各种答案，如果相对于z轴测量了误差，该如何执行拟合，但是我想考虑正交方向的误差。我发现以下问题（ 
解决方法
您给出的第一个链接确实描述了正交距离拟合的算法，但是非常简洁。如果有帮助，这里是一个更复杂的描述：
我想您有个点（在您的情况下为3d，但是维数对算法没有影响）P [i]，i = 1..N 您想要找到一个距点最小正交距离的（超）平面。
p可以用单位矢量n和标量d描述超平面。平面上的点集是{ P | n.P + d = 0 }
，并且点P与平面的（正交）距离为
n.P + d
所以我们想找到n和d来最小化
Q(n,d) = Sum{ i | (n.P[i]+d)*(n.P[i]+d) } /N
（除以N并不是必须的，并且对找到的n和d的值没有影响，但在我看来使代数更整洁）
首先要注意的是，如果我们知道n，则使Q最小的d将是
d = -n.Pbar where
Pbar = Sum{ i | P[i]}/N,the mean of the P[]
我们也可以使用d的这个值，这样，在经过一点代数运算后，问题就会减少到最小化Q ^：
Q^(n) = Sum{ i | (n.P[i]-n.Pbar)*(n.P[i]-n.Pbar) } /N
= n' * C * n
where
C = Sum{ i | (P[i]-Pbar)*(P[i]-Pbar) } /N
Q ^的形式告诉我们，使Q ^最小的n的值将是C的特征向量，对应于最小特征值。
所以（对不起，我不能提供代码，但是我的python是可鄙的）：
a /计算
Pbar = Sum{ i | P[i]}/N,the mean of the points
b /计算
C = Sum{ i | (P[i]-Pbar)*(P[i]-Pbar) } /N,the covariance matrix of the points
c /对角线C，并选取一个最小特征值和相应的特征向量n
d /计算
d = -Pbar.n
然后n，d定义所需的超平面。
,基于您的second refernce
[
]
假设您有n个样本（x，y，z）
我将这3个术语称为M*A=V，并定义列数组
X=[ x_0,x_1 .. x_n ]'
Y=[ y_0,y_1 .. y_n ]'
Z=[ z_0,z_1 .. z_n ]'
定义（n乘3）矩阵XY1=[X,Y,1n]：
[[x_0,y_0,1],XY1= [x_1,y_1,...
[x_n,y_n,1]]
矩阵M可以通过
获得M = XY1' * XY1
撇号（'）是换位运算符，（*）是矩阵乘积。
数组V是
V = XY1'*Z
最小二乘解可以通过摩尔-penrose伪逆数获得：[(M'*M)^-1 * M']
~A = [(M'*M)^-1 * M'] * V
示例代码：
import numpy as np
from mpl_toolkits import mplot3d
import matplotlib.pyplot as plt
#Input your values
A=3
B=2
C=1
#reserve memory
xy1=np.ones([n,3])
#Make random data,n ( x,y ) tuples.
n=30 #samples
xy1[:,:2]=np.random.rand(n,2)
#plane: A*x+B*y+C = z,the z coord is calculated from random x,y
z=xy1.dot (np.array([[A,B,C],]).transpose() )
#addnoise
xy1[:,:2]+=np.random.normal(scale=0.05,size=[n,2])
z+=np.random.normal(scale=0.05,1])
#calculate M and V
M=xy1.transpose().dot(xy1)
V=xy1.transpose().dot(z)
#pseudoinverse:
Mp=np.linalg.inv(M.transpose().dot(M)).dot(M.transpose())
#Least-squares Solution
ABC= Mp.dot(V)
输出
In [24]: ABC
Out[24]:
array([[3.11395111],[2.02909874],[1.01340411]])
我也不得不处理这种情况，起初数学符号可能会让人不知所措，但最终解决方案非常简单。
一旦您直觉到定义最佳拟合平面 Ax + By + Cz + D = 0 的向量（A，B，C）是一个解释了一组坐标的最小方差，那么解决方案很简单。
首先要做的是使坐标居中（这样，在平面方程中 D 将为0）
coords -= coords.mean(axis=0)
然后，您有2个选项来获取您感兴趣的向量：（1）使用sklearn或scipy中的PCA实现来获取解释最小方差的向量
pca = PCA(n_components=3)
pca.fit(coords)
# The last component/vector is the one with minimal variance,see PCA documentation
normal_vector = pca.components_[-1]
（2）重新实现已链接的“几何工具”参考中描述的过程。
@njit
def get_best_fitting_plane_vector(coords):
# Calculate the covariance matrix of the coordinates
covariance_matrix = np.cov(coords,rowvar=False) # Variables = columns
# Calculate the eigenvalues & eigenvectors of the covariance matrix
e_val,e_vect = np.linalg.eig(covariance_matrix)
# The normal vector to the plane is the eigenvector associated to the minimum eigenvalue
min_eval = np.argmin(e_val)
normal_vector = e_vect[:,min_eval]
return normal_vector
在速度方面，重新实现的过程比使用PCA更快，并且如果您使用numba（可以用@njit装饰函数）则可以更快。
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