使用Eigen-如何求解零列的稀疏SPD线性系统？

（我正在使用Eigen C ++库）

我需要解决Ax = 0形式的方程组，以便找到x向量（A是稀疏的）。

编辑：A是SPD（对称正定）

由于某些x值是已知的，因此我将它们从A中删除以创建Af并放入另一个与Ac相同尺寸的矩阵A中，并且将-Ac与一个具有已知x值且在所有其他位置为零的向量相乘，以创建向量b。

现在，我尝试使用Af * x = b来解决SparseLU<SparseMatrix<float>>，但是由于分解不起作用而失败了。我收到此错误：

矩阵在结构上是奇异的...零列为480

为什么我的列为零是一个问题？零行肯定会是一个问题，但零列呢？我只是更改了以下内容：

x_1 + x_2 = 0

x_2 = 3

到

x_1 + 0 = -3

即使将方程式放入矩阵中，即使我的列为零，解决方案仍是x_1 = -3 & x_2 = 3。

我该如何解决这个问题？

您给定了“ A”和“ b = 0”，并且知道A是对称正定的。因为A是spd，所以它没有非平凡的零空间（这是重要的属性）。也就是说，存在的唯一的“ x”是x =0。Ax = b = 0。

因此，如果给出非零值，您将找不到解决方案。始终为x = 0。我说这是为了强调Eigen无法解决问题，因为它是用公式表示的。

我的线性代数有点生锈。

为了使矩阵具有唯一的解，矩阵的秩必须与维相同。如果列数为零，则等级将比维度小一，并且有一个自由变量。

如果您要解决Ax = 0，那么您要追究的是null space，请尝试查看此link。

为什么我的列为零是一个问题？

因为这意味着您的方程式忽略了未知向量的组成部分之一，这导致解不唯一（被忽略的未知数的任何值都可以满足方程式。）

由于某些x值是已知的，因此我将它们从A中删除以创建Af并放入另一个与Ac相同尺寸的矩阵A中，并且将-Ac与一个具有已知x值且在所有其他位置为零的向量相乘，以创建向量b。

我不确定您从矩阵中删除x值的精确程度。它们不是矩阵的组成部分，因此无法删除。但是，如果确实知道它们，则应该将它们替换到方程组中，然后从矩阵中删除相应的列，然后删除无关的行以使矩阵正方形。

例如假设您已将A和b定义如下：

    ⎛1 2 3⎞
A = ⎜2 4 5⎟,⎝3 5 6⎠
b = (3,-5,8)ᵀ,

您的方程式是

Ax=b.

让x₂为-32。我们可以替换它，得出以下等式：

A'x'+c=b,

其中

     ⎛1 3⎞
A' = ⎜2 5⎟,⎝3 6⎠
x' = (x₁,x₃)ᵀ,c = (-64,-128,-160)ᵀ.

c是A第二列与x₂的乘积。将c移至RHS并在其中产生k=b-c之后，您将获得一个过分确定（尽管一致）的系统

A'x'=k,

，因此您应该从A中删除一行，并从k中删除同一行。例如。删除最后一行将得出方程式

A"x'=k',

其中

     ⎛1 3⎞
A" = ⎝2 5⎠,k' = (67,123)ᵀ,

，其解决方案为x'=(x₁,x₃)ᵀ=(34,11)ᵀ。可以使用与平方矩阵配合使用的线性求解器来求解该方程。