1.定义：
一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边。
2.实现：
一般是用并查集的合并与查找操作来支撑的，这里简单提一下
先定义一个数组\(fa_i\)表示\(i\)的父节点
inline int find(int x)
{
if(x==fa[x])
return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}//查找祖先
inline void merge(int x,int y)
{
int a=find(x);
int b=find(y);
if(a!=b)
{
fa[a]=b;
}
}//合并x，y所在的集合
3.思路：
就是将边权从小到大排序然后依次查询看是否组成一颗生成树，若是则停止操作
温馨提示：
并查集一定要记得初始化！！！
并查集一定要记得初始化！！！
并查集一定要记得初始化！！！
典型例题：
例一 P3366 【模板】最小生成树
板子题......
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+5;
struct node
{
int u,v,w;
}e[MAXN];
int fa[MAXN];
int find(int x)
{
if(x==fa[x])
return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
inline void merge(int x,int y)
{
int a=find(x);
int b=find(y);
if(a!=b)
{
fa[a]=b;
}
}
inline bool cmp(node x,node y)
{
return x.w<y.w;
}
int n,m;
int ans;
int cnt;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
}
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
}
sort(e+1,e+m+1,cmp);
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
int x=find(e[i].u);
int y=find(e[i].v);
if(x!=y)
{
merge(x,y);
ans+=e[i].w;
cnt++;
}
}
if(cnt!=n-1)
{
printf("orz");
}
else
{
printf("%d",ans);
}
return 0;
}
例二 P1991 无线通讯网
同样是板子题......
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge
{
int u,v;
double w;
}e[250000];
int s,p;
inline double dis(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
double k=pow((x1-x2),2)+pow((y1-y2),2);
return sqrt(k);
}
double x[505],y[505];
int cnt;
bool cmp(edge x,edge y)
{
return x.w<y.w;
}
int fa[505];
int find(int x)
{
if(x==fa[x])
return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
inline void merge(int x,int y)
{
int a=find(x);
int b=find(y);
if(a!=b)
{
fa[a]=b;
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&s,&p);
for(register int i=1;i<=p;i++)
{
scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
fa[i]=i;
}
for(register int i=1;i<=p;i++)
{
for(register int j=i+1;j<=p;j++)
{
e[++cnt].u=i;
e[cnt].v=j;
e[cnt].w=dis(x[i],y[i],x[j],y[j]);
}
}
sort(e+1,e+cnt+1,cmp);
int ss=0;
if(ss>=p-s)
{
cout<<0;
return 0;
}
for(register int i=1;i<=cnt;i++)
{
int a=find(e[i].u);
int b=find(e[i].v);
if(a!=b)
{
merge(a,b);
ss++;
}
if(ss==p-s)
{
printf("%.2lf",e[i].w);
return 0;
}
}
return 0;
}
例三 P2872 Building Roads S
全是裸的生成树真的好吗......
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[5005],cnt,id;
double ans;
long long x[5005],y[5005];
inline int read()
{
register int x=0,f=0;register char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9')f|=ch=='-',ch=getchar();
while(ch>='0' && ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return f?-x:x;
}
struct node{
int x,y;
long long w;
bool operator<(const node &X)const{
return w<X.w;
}
}q[2000005];
int getf(int x){
int y=x,z;
while(x!=f[x])x=f[x];
while(y!=x)z=y,y=f[y],f[z]=x;
return x;
}
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=i;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
x[i]=read();y[i]=read();
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
u=read();v=read();
int fx=getf(u),fy=getf(v);
if(fx==fy)continue;
f[fx]=fy;
cnt++;
}
if(cnt==n-1){
puts("0.00");
return 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
id++;
q[id].x=i,q[id].y=j;
q[id].w=1ll*(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+1ll*(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]);
}
}
sort(q+1,q+1+id);
for(int i=1;i<=id;i++){
int fx=getf(q[i].x),fy=getf(q[i].y);
if(fx==fy)continue;
f[fx]=fy;
ans+=sqrt(q[i].w);
cnt++;
if(cnt==n-1){
printf("%.2lf",ans);
break;
}
}
return 0;
}
例四 P1195 口袋的天空
又是板子题？？！！
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,m;
int fa[1000050];
struct node {
int x;
int y;
int l;
} a[1000005];
int cmp( const void *a , const void *b ) {
struct node *c = (node *)a;
struct node *d = (node *)b;
return c->l - d->l;
}
int find(int x)
{
if(x!=fa[x])
fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
void work(int x,int y)
{
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y)
return;
fa[x]=y;
}
int main() {
cin>>n>>m>>k;
for(int i=0; i<m; i++) {
scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].l);
}
qsort(a,m,sizeof(a[0]),cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)
fa[i]=i;
int num=n-k;
int ans=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
if(num==0)
break;
int aaa=find(a[i].x);
int wzx=find(a[i].y);
if(aaa!=wzx)
{
work(a[i].x,a[i].y);
ans+=a[i].l;
num--;
}
}
if(num)
cout<<"No Answer"<<endl;
else
cout<<ans<<endl;
}
例五 P1547 Out of Hay S
真的不要再来裸题了......
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
long long fa[100000001];
struct hay
{
int x,y,z;
}a[10001];
inline bool cmp(hay a,hay b)
{
return a.z<b.z;
}
inline int find(int t)
{
if(fa[t]==t) return t;
else return fa[t]=find(fa[t]);
}
inline void me(int r1,int r2)
{
int s1=find(r1);
int s2=find(r2);
fa[s1]=s2;
}
inline void Kruskal()
{
int k=0;
int k1,k2;
int ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
k1=find(a[i].x);
k2=find(a[i].y);
if(k1==k2) continue;
k++;
me(k1,k2);
ans=max(a[i].z,ans);
if(k==n-1) break;
}
cout<<ans;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
}
for(i=1;i<=m;i++)
{
cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].z;
}
sort(a+1,a+m+1,cmp);
Kruskal();
return 0;
}
例六 P1396营救
终于不是裸题了，这道题还是需要一些特殊处理的，首先题目要读懂，理解对，其次是需要做些特殊处理
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+5;
struct node
{
int u,v,w;
}e[MAXN];
int fa[MAXN];
int find(int x)
{
if(x==fa[x])
return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
inline void merge(int x,int y)
{
int a=find(x);
int b=find(y);
if(a!=b)
{
fa[a]=b;
}
}
bool cmp(node x,node y)
{
return x.w<y.w;
}
int n,m,s,t;
int ans=-1;
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(register int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
}
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
}
sort(e+1,e+m+1,cmp);
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
int x=find(e[i].u);
int y=find(e[i].v);
if(x!=y)
{
merge(x,y);
if(find(s)==find(t))
{
cout<<e[i].w;
return 0;
}
}
}
return 0;
}
例七 P2330 繁忙的都市
这道题其实就是克鲁斯卡尔算法（Kruskal）的模板题，很简单。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+5;
struct node
{
int u,v,w;
}e[MAXN];
int fa[MAXN];
int find(int x)
{
if(x==fa[x])
return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
inline void merge(int x,int y)
{
int a=find(x);
int b=find(y);
if(a!=b)
{
fa[a]=b;
}
}
bool cmp(node x,node y)
{
return x.w<y.w;
}
int n,m,s,t;
int ans=-1;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(register int i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
}
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
}
sort(e+1,e+m+1,cmp);
int k=0;
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
int x=find(e[i].u);
int y=find(e[i].v);
if(x!=y)
{
ans=e[i].w;
merge(e[i].u,e[i].v);
k++;
if(k==n-1)
break;
}
}
printf("%d %d",n-1,ans);
return 0;
}
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