天天早上上班迟到！为何公交车老是让我迟到？Python分析一下！

我以前就遇到过这种想法，总是怀疑它是否真的是真的……这些“合理的假设”在多大程度上符合现实?这篇文章将从模拟和概率论证的角度来探讨等待时间悖论，然后看一些来自西雅图市的真实巴士到达时间数据，希望能彻底解决这个悖论。

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#检验悖论

如果公共汽车每十分钟准时到达，你的平均等待时间将是这个间隔的一半:5分钟。从本质上说，很容易说服您自己，为这些到达添加一些变化将使平均等待时间更长一些，我们将在这里看到。

等待时间悖论是一种更为普遍的现象——检查悖论的一个特例，艾伦•唐尼(Allen Downey)在这篇发人深省的文章中详细讨论了这一现象:检查悖论无处不在。

但是等待时间悖论提出了一个更有力的论断:当到达的平均时间间隔为N分钟时，乘客体验的平均时间间隔为2N分钟。这可能是真的吗?

#模拟等待时间

为了让自己相信等待时间悖论是合理的，让我们从模拟平均10分钟到达的一列公共汽车开始。为了数字的准确性，我们将模拟大量到达的巴士:一百万辆巴士(或大约19年的24小时10分钟的车头):

为了确认我们做的是正确的，我们检查一下均值区间是否接近τ=10:

通过对这些公交到站的模拟，我们现在可以模拟大量乘客在这段时间内到达公交车站，并计算出他们每个人所经历的等待时间。让我们把它封装到一个函数中，以便以后使用:

然后我们可以模拟一些等待时间并计算平均值:

平均等待时间也接近10分钟，正如等待时间悖论中所预测的那样。

#挖掘更深层次的问题:概率&泊松过程（ Poisson Processes）

我们怎么能理解这里发生了什么?

从本质上来说，观察到一个值的概率与该值本身有关是检验悖论的一个例子。我们用p(T)表示公共汽车到站时T在公共汽车之间的分布：

在上面的模拟中,我们选择了E[T]=τ= 10分钟。

当一个人在一个随机的时间到达一个公交车站时，他所经历的时间间隔的概率会受到p(T)的影响，同时也会受到T本身的影响:时间间隔越长，乘客所经历的时间间隔的概率越大。

所以我们可以写出乘客体验到的到达时间分布:

比例常数来自于分布的正态化:

与上面相比，我们看到这个化简为

期望等待时间E[W]将是乘客体验到的期望间隔的一半，因此我们可以写：

可以用一种更容易理解的方式重写:

现在剩下的就是选择p(T)的形式然后计算积分。

#选择p(T)

有了以上的推理，p(T)的合理分布是什么?通过绘制到达时间间隔的直方图，我们可以得到模拟到达时间内的p(T)分布的图像:

这里的垂直虚线显示了大约10分钟的平均间隔。这看起来很像一个指数分布，这不是偶然的:我们模拟的公共汽车到达时间作为均匀的随机数非常接近泊松过程，对于这样一个过程，它可以显示到达间隔的分布是指数的。

（这里的垂直虚线显示了大约10分钟的平均间隔。这看起来很像一个指数分布，这不是偶然的:我们模拟的公共汽车到达时间作为均匀的随机数非常接近泊松过程，对于这样一个过程，它可以显示到达间隔的分布是指数的。）

区间的指数分布意味着到达时间遵循泊松过程。为了再次验证这个推理，我们可以确认它与泊松过程的另一个属性相匹配:在固定时间范围内到达的次数将是泊松分布的。让我们通过将模拟到达的车辆按小时分组来验证这一点:

经验值和理论值之间的密切匹配使我们相信我们的解释是正确的:对于大N，我们上面模拟的到达时间是用泊松过程很好地描述的，这意味着指数分布的到达间隔。

这意味着我们可以写出概率分布：

把这个结果代入上面的结果，我们发现一个人经历的平均等待时间是：

对于符合泊松过程的公共汽车到达，乘客的期望等待时间与到达之间的平均间隔相同。

对此的一种补充解释是:泊松过程是一个无记忆的过程，这意味着事件的历史对下一个事件的预期时间没有影响。所以当你到达车站时，到下一辆车的平均等待时间总是一样的:在我们的例子中，它是10分钟，这是不管从上一辆车到现在已经有多长时间了!同样的道理，你已经等待了多长时间并不重要:下一个到达目的地的预期时间总是正好是10分钟:对于泊松过程，你等待的时间不会得到“积分”。

#实际等待时间

如果真实的公共汽车到达是由泊松过程描述的，那么上面的描述是非常正确的，但它们是吗?

为了确定等待时间悖论是否描述了现实，我们可以深入研究一些数据，具体数据可以在微末找到下载地址，该数据集包含了西雅图市区第三和派克公交车站C、D和E号线的预定和实际到达时间，记录于2016年第二季度(感谢华盛顿州交通中心的Mark Hallenbeck提供的数据!)

out[7]:

我特别从快速乘车路线中获取数据的原因是，在一天的大部分时间里，公交车的时间间隔都在10到15分钟之间。

#数据清理

首先，让我们做一些数据清理，使它成为一个更容易使用的形式:

#公共汽车多晚?

在这个表中有6个不同的数据集:C、D和E线的南北方向。为了了解它们的特性，让我们绘制一个直方图，其中每一个的实际减去预定到达时间:

你可能认为附近的公交车接近他们安排每个单程旅行,显示更多的开始传播接近尾声,这是数据证实:该漆C-line和北行的D和E线附近的开始各自的航线,在相反的方向,他们正趋于零。

#预定和观察的到达间隔

接下来让我们看一下这六条路线的观察到的和预定到港时间间隔。我们将从使用panda groupby功能来计算这些间隔开始:

很明显，这些看起来不太像我们模型的指数分布，但这并没有告诉我们太多:分布可能受到非恒定预定到达间隔的影响。

让我们重复上面的图表，检查预定的而不是观察到的到达时间间隔:

由此可见，公共汽车每周的到站时间各不相同，因此我们不能从原始到站时间分布来评价等待时间悖论的准确性。

#构建统一的时间表

即使预定的到达时间间隔不统一，也有一些特定的时间间隔有大量的到达:例如，有近2000辆北行E-line公交车，预定的时间间隔为10分钟。为了探究等待时间悖论是否适用，让我们将数据按行、方向和预定间隔分组，然后将这些类似的到达重新堆叠在一起，就好像它们是按顺序发生的一样。这应该保持原始数据的所有相关特征，同时使其更容易直接与等待时间悖论的预测进行比较。

out[13] :

利用这些清理后的数据，我们可以绘制出每条路线、每一个方向、每一个到达频率的“实际”到达间隔分布:

我们可以看到，对于每一行和每一个行程，观测到的到达间隔的分布几乎是高斯分布，在计划到达间隔附近达到峰值，在路线开始附近(C为南行，D/E为北行)的标准差较小，在接近终点时标准差较大。即使没有统计检验，我们也可以清楚地看到，实际到达时间间隔绝对不是指数分布的，这是等待时间悖论的基本假设。

我们可以利用上述的等待时间模拟函数，求出每条总线的平均等待时间、方向和调度:

平均等待时间可能比预定间隔的一半长一两分钟，但并不像等待时间悖论所暗示的那样等于预定间隔。也就是说，检验悖论得到了证实，但等待时间悖论似乎与现实不符。

#结语

等待时间悖论一直是一个有趣的讨论起点，涉及模拟、概率和统计假设与现实的比较。虽然我们证实了现实中的公交线路确实遵循某种版本的检查悖论，但上述分析相当明确地表明，等待时间悖论背后的核心假设——公交的到达遵循泊松过程的统计数据——并没有充分的依据。

回想起来，这也许并不奇怪:泊松过程是一个无记忆的过程，它假定到达的概率完全独立于上一次到达之后的时间。在现实中，一个运行良好的公交系统会有意地安排时间表来避免这种行为:公交车不会在一天中的任意时间开始它们的路线，而是按照最适合乘坐公共交通工具的时间表开始它们的路线。

这里更重要的教训是，您应该小心为任何数据分析任务带来的假设。泊松过程有时是对到达时间数据的很好的描述。但仅仅因为一种数据听起来像另一种数据，并不意味着对其中一种有效的假设对另一种也一定有效。通常，表面上看起来正确的假设会导致与现实不符的结论