正则化线性模型：岭回归 Ridge Regression、Lasso 回归、Elastic Net (弹性网络) 和 Early stopping

模型正则化(减小自由度)是减少过拟合的方法之一。

对多项式模型来说，正则化可以通过减少阶数来实现。

对线性模型来说，正则化往往通过约束模型的权重来实现。

岭回归是线性回归的正则化版本，即在原来的线性回归的 cost function 中添加正则项（regularization term）: $\alpha \sum_{i=1}^n\theta_i^2$ ，以达到在拟合数据的同时，使模型权重尽可能小的目的：

【式-1】岭回归代价函数

J (θ) = M S E (θ) + α \sum_{i = 1}^{n} θ_{i}^{2}

$J(\theta) = MSE(\theta) + \alpha \sum_{i=1}^n\theta_i^2$
即

J (θ) = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} {(θ^{T} \cdot x^{(i)} - y^{(i)})}^{2} + α \sum_{i = 1}^{n} θ_{i}^{2}

$J(\theta) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \left( \theta^T\cdot x^{(i)} -y^{(i)}\right)^2 + \alpha \sum_{i=1}^n\theta_i^2$
也即

J (θ) = (X θ - y)^{T} (X θ - y) + α \frac{1}{2} ‖ w ‖_{2}^{2}

$J(\theta) = (\mathbf{X}\theta-\mathbf{y})^T(\mathbf{X}\theta-\mathbf{y}) + \alpha \frac{1}{2}\Vert\mathbf{w}\Vert_2^2$

在利用梯度下降法求解时，有：

【式-2】岭回归梯度向量

\nabla_{θ} M S E (θ) = \frac{2}{m} X^{T} (X θ - y) + α w

$\nabla_{\theta}MSE(\theta) = \frac{2}{m}\mathbf{X}^T(\mathbf{X}\theta-\mathbf{y}) + \alpha\mathbf{w}$

令【式-2】取0即可得到闭式解

【式-3】岭回归的闭式解

\hat{θ} = {(X^{T} X + α A)}^{- 1} X^{T} y

$\hat{\theta} = \left( \mathbf{X}^T\mathbf{X}+\alpha\mathbf{A} \right)^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{y}$

【注意】

偏差项 $\theta_0$ 并没有包含在正则项中，即sum的下标从1开始，而不是0.
正则项只在模型训练的过程中加在 cost function 中，一旦模型完成训练，在评估模型 performance 的时候应该使用没有加正则项的形式。=> 训练时的 cost function 和测试时的 performance measure 可以不相同！cost function 需要考虑易于寻优的问题，而 performance measure 应和最终的目标尽可能相近！
由于对输入特征的Scale非常敏感，在进行岭回归分析前对数据进行归一化（例如利用Scikit-Learn的StandardScaler进行预处理）非常重要。（适用于大多数正则化模型）

Least Absolute shrinkage and Selection Opperation Regression (Lasso Regression)

Lasso 回归是线性回归的另一种正则化版本，正则项为权值向量的 $\ell_1$ 范数：

【式-4】Lasso回归的代价函数

J (θ) = M S E (θ) + α \sum_{i = 1}^{n} | θ_{i} |

$J(\theta) = MSE(\theta) + \alpha\sum_{i=1}^n\vert\theta_i\vert$

【注意
- Lasso Regression 的代价函数在 $\theta_i=0$ 处是不可导的.
- 解决方法：在 $\theta_i=0$ 处用一个次梯度向量(subgradient vector)代替梯度，如式-5

【式-5】Lasso Regression 的次梯度向量

Lasso Regression 有一个很重要的性质是：倾向于完全消除不重要的权重。

例如：当 $\alpha$ 取值相对较大时，高阶多项式退化为二次甚至是线性：高阶多项式特征的权重被置为0。

也就是说，Lasso Regression 能够自动进行特征选择，并输出一个稀疏模型（只有少数特征的权重是非零的）。

弹性网络在岭回归和Lasso回归中进行了折中，通过 混合比(mix ratio) r 进行控制：

【式-6】弹性网络的代价函数

J (θ) = M S E (θ) + r α \sum_{i = 1}^{n} | θ_{i} | + \frac{1 - r}{2} α \sum_{i = 1}^{n} θ_{i}^{2}

$J(\theta) = MSE(\theta) + r\alpha\sum_{i=1}^n\vert\theta_i\vert + \frac{1-r}{2} \alpha \sum_{i=1}^n\theta_i^2$

一般来说，我们应避免是用朴素线性回归，而应对模型进行一定的正则化处理，那如何选择正则化方法呢？

常用：岭回归
假设只有少部分特征是有用的：弹性网络或者 Lasso
- 一般来说，弹性网络的使用更为广泛。因为在特征维度高于训练样本数或者即为特征是强相关的情况下，Lasso回归的表现不太稳定。

Early Stopping 也是正则化迭代学习算法（如GD）的方法之一。其做法为：在验证错误率达到最小值的时候停止训练。

beatutiful free lunch ——Geoffrey Hinton