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本文参考的论文连接：
涉及一些光学动捕知识：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/371907991
身体肌肉
1.介绍
主流的方法：物理模拟，数据驱动。
本文：物理模拟+数据驱动
- 用物理模拟的方法得到真实的结果
- 使用数据集使模型适配不同的人体(body type)
- 通过骨骼动画信息直接生成皮肤的形变
本文使用mass-spring-damper system对肌肉和软组织系统做数学建模
2.数学模型
使用物理模拟，肌肉带动骨骼，肌肉长度和张力会导致肌肉的鼓起。
本文皮肤模型包括三个子模型：
- Quasi-static muscle model
- Muscle dynamics model
- Soft-tissue dynamics model
2.1 Quasi-static muscle model
表示肌肉鼓起/舒张（主动发生的形变，带动另外两个子模型运动）
- 把肌肉近似为一个纺锤体，与肌肉路径垂直的横截面是一个椭圆，椭圆的大小由sigmoid function定义(sigmoid的参数和椭圆离心率的参数是肌肉长度和张力)
- 翼状的肌肉(例如大胸肌) 横截面不是椭圆，所以使用很多细的纺锤型线进行表示
- 对于不对称的肌肉(例如比目鱼肌)，沿着中心拆分成两部分，使用两套不同的sigmoid参数
- \(\theta\) : 横截面的极坐标角度
- \(x\) : pathway（肌肉的中心线），为0代表肌肉起点/终点，为1代表肌肉中心
- \(r_m\) : 肌肉上的点到pathway的距离
- \(m\) : 沿着中心拆分后不同的部分，可以取1,2
- \(t\) : 第t帧
公式：
其中
- \(k_{m,n}(t)\): sigmoid的参数
- \(l(t)\): 肌肉长度
- \(\tau(t)\): 肌肉张力
统计下来，每个肌肉各对应27个参数，参数太多
定义一些概念
为了调整模型参数，提出一个优化问题：肌肉表面到最近markers的距离总和最小
2.2 Muscle dynamics model
Muscle dynamics model: 用mass-spring-damper system描述肌肉被动发生的形变。将质点放在三角网格顶点，然后相邻质点用spring-damper连接，并且质点和quasi-static muscle之间也会使用spring-damper连接。
2.3 Soft-tissue dynamics model
Soft-tissue dynamics model: 用mass-spring-damper system描述皮肤和皮下脂肪的被动发生的形变。
定义一些顶点的集合
Let P^s denote the set of skin vertices, P^qm the vertices on the quasi-static muscle surfaces, P^dm the vertices on the dynamic muscle surfaces, and P^b the vertices on the bone surfaces。
即：
\(P^S\): skin vertex集合
\(P^{qm}\): quasi-static muscle vertex集合
\(P^{dm}\): dynamic muscle vertex集合
\(P^b\): bone surface vertex集合
Skin vertex连接到：
- 相邻的skin vertex
- 以该点为中心的半球中的dynamic muscle vertex，bone vertex(如下图)。半球的半径为\(\alpha+r\)，\(\alpha=2.0cm\)代表偏移，为保证半球内有点，半球的最小半径为\(r\)。
Dynamic muscle vertex连接到：
- 相邻的dynamic muscle vertex
- 临近的skin vertex
使用spring-damper pair连接之后，顶点之间的力：
其中：
- \(x,v\): 顶点的位置，速度
- \(x_{ij}=x_j-x_i,,v_{ij}=v_j-v_i\)
- \(k_{ij},c_{ij}\): stiffness系数，damping系数
不同类型的点连接起来的sprint-damper具有不同的参数
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