倒水问题

倒水问题的经典形式是这样的： “假设有一个池塘，里面有无穷多的水。现有2个空水壶，容积分别为 5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。” 当然题外是有一些合理的限制的，比如从池塘里灌水的时候，不管壶 里是不是已经有水了，壶一定要灌满，不能和另一个壶里的水位比照 一下“毛估估”（我们可以假设壶是不透明的，而且形状也不同）； 同样的，如果要把水从壶里倒进池塘里，一定要都倒光；如果要把水 从一个壶里倒进另一个壶里，也要都倒光，除非在倒的过程中另一个 壶已经满了；倒水的时候水没有损失（蒸发溢出什么的）等等等等。 事实上，要解决上面这题，你只要用两个壶中的其中一个从池塘里灌 水，不断地倒到另一个壶里，当第二个壶满了的时候，把其中的水倒 回池塘里，反复几次，就得到答案了。以5升壶(A)灌6升壶(B)为例： AB 00 50A->B 05 55A->B 46 40A->B 04 54A->B 36 现在我们问，如果是多于2只壶的情况怎么办（这样一来就不能用上面 的循环倒水法了）？如何在倒水之前就知道靠这些壶是一定能（或一 定不能）倒出若干升水来的？试举数例： 1)两个壶：65升和78升，倒38升和39升。 2)三个壶：6升，10升和45升，倒31升。 我们可以看到，在1)中，65=5*13，78=6*13，而39=3*13。所以如果把 13升水看作一个单位的话（原题中的“升”是没有什么重要意义的， 你可以把它换成任何容积单位，毫升，加仑——或者“13升”），这 题和最初的题目是一样的。而38升呢？显然是不可能的，它不是13的 倍数，而65升和78升的壶怎么也只能倒出13升的倍数来。也可以这样 理解：这相当于在原题中要求用5升和6升的壶倒出38/39升来。 那么2)呢？你会发现，只用任何其中两个壶是倒不出31升水的，理由 就是上面所说的，(6,10)=2，(6,45)=3，(10,45)=5，（这里(a,b)是 a和b的最大公约数），而2，3，5均不整除31。可是用三个壶就可以倒 出31升：用10升壶四次，6升壶一次灌45升壶，得到1升水，然后灌满 10升壶三次得30升水，加起来为31升。 一般地我们有“灌水定理”： “如果有n个壶容积分别为A1，A2，……，An（Ai均为大于0的整数） 设w为另一大于0的整数。则用此n个壶可倒出w升水的充要条件为： 1)w小于等于A1+A2+……+An； 2)w可被(A1,A2,……,An)（这n个数的最大公约数）整除。” 这两个条件都显然是必要条件，如果1)不被满足的话，你连放这么多 水的地方都没有。2)的道理和上面两个壶的情况完全一样，因为在任 何步骤中，任何壶中永远只有(A1,An)的倍数的水。 现在我们来看一下充分性。在中学里我们学过，如果两个整数a和b互 素的话，那么存在两个整数u和v，使得ua+vb=1。证明的方法很简单： 在对a和b做欧几里德辗转相除时，所有中间的结果，包括最后得到的 结果显然都有ua+vb的形式（比如第一步，假设a小于b，记a除b的结果 为s，余数为t，即b=sa+t，则t=(-s)a+b，即u=-s，v=1）。而两个数 互素意味着欧几里德辗转相除法的最后一步的结果是1，所以1也可以 记作ua+vb的形式。稍微推广一点，如果(a,b)=c，那么存在u和v使得 ua+vb=c（两边都除以c就回到原来的命题）。 再推广一点，如果A1，A2，……，An是n个整数，(A1,An)=s， 那么存在整数U1，U2，……，Un，使得 U1A1+U2A2+……+UnAn=s.(*) 在代数学上称此结果为“整数环是主理想环”。这也不难证，只要看 到 (A1,A3,A4,An)=((((A1,A2),A3),A4),An). 也就是说，可以反复应用上一段中的公式：比如三个数a，b，c，它 们的最大公约数是d。假设(a,b)=e，那么(e,c)=((a,b),c)=d。现在 有u1，u2使得u1a+u2b=e，又有v1，v2使得v1e+v2c=d，那么 (v1u1)a+(v1u2)b+(v2)c=d. 好，让我们回头看“灌水定理”。w是(A1,An)的倍数，根据 上节的公式(*)，两边乘以这个倍数，我们就有整数V1，V2，……，Vn 使得 V1A1+V2A2+……+VnAn=w. 注意到Vi是有正有负的。 这就说明，只要分别把A1，A2，……，An壶，灌上V1，V2，……，Vn 次（如果Vi是负的话，“灌上Vi次”要理解成“倒空-Vi次”），就可 以得到w升水了。具体操作上，先求出各Vi，然后先往Vi是正数的壶里 灌水，灌1次就把Vi减1。再把这些水到进Vi是负数的壶里，等某个壶 灌满了，就把它倒空，然后给这个负的Vi加1，壶之间倒来倒去不变更 各Vi的值。要注意的是要从池塘里灌水，一定要用空壶灌，要倒进池 塘里的水，一定要是整壶的。这样一直到所有Vi都是0为止。 会不会发生卡住了，既不能灌水又不能倒掉的情况？不会的。如果有 Vi仍旧是负数，而Ai壶却没满：那么如果有其它Vi是正的壶里有水的 话，就都倒给它；如果有其它Vi是正的壶里没水，那么就拿那个壶打 水来灌（别忘了给打水的壶的Vi减1）；如果根本没有任何Vi是正的壶 了——这是不可能的，这意味着w是负的。有Vi仍旧是正数，而Ai壶却 没满的情况和这类似，你会发现你要用到定理中的条件1)。 这样“灌水定理”彻底得证。当然，实际解题当中如果壶的数目和容 积都比较大的话，手工来找(*)中的各Ui比较困难，不过可以写个程序， 连倒水的步骤都算出来。最后要指出的一点是，(*)中的Ui不是唯一的， 所以倒水的方式也不是唯一的。