一、树
(1)树的定义:
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树(Tree): n(n≥0)个结点构成的有限集合
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当n=0时,称为空树
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对于任一棵非空树(n> 0),它具备以下性质:
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树中有一个称为“根(Root)”的特殊结点,用 root 表示;
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其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,... ,Tm,其中每个集合本身又是一棵树,称为原来树的“子树(SubTree)”
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注意:
子树之间不可以相交
除了根结点外,每个结点有且仅有一个父结点
一棵N个结点的树有N-1条边
(2)树的结构
(3)树的优点:
树结构、数组和链表的对比
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数组:
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链表:
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树结构:
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不能说树结构比其他结构都要好, 因为每种数据结构都有自己特定的应用场景.
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但是树确实也综合了上面的数据结构的优点(当然优点不足于盖过其他数据结构), 并且也弥补了上面数据结构的缺点.
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而且为了模拟某些场景,使用树结构会更加方便. 比如文件的目录结构.
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(4)树的术语:
结点的度(Degree):结点的子树个数
树的度:树的所有结点中最大的度数. (树的度通常为结点的个数N-1)
叶结点(Leaf):度为0的结点. (也称为叶子结点)
父结点(Parent):有子树的结点是其子树的根结点的父结点
子结点(Child):若A结点是B结点的父结点,则称B结点是A结点的子结点(也称孩子结点)
兄弟结点(Sibling):具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点
路径和路径长度:从结点n1到nk的路径为一个结点序列n1 , n2,… , nk, ni是 ni+1的父结点,路径所包含边的个数为路径的长度
结点的层次(Level):规定根结点在1层,其它任一结点的层数是其父结点的层数加1
树的深度(Depth):树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度
二、二叉树
1)概念
- 树中每个节点最多只能有两个子节点, 这样的树就成为"二叉树"
二叉树的定义
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二叉树可以为空, 即没有结点
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不为空时它是由根结点和称为其左子树TL和右子树TR的两个不相交的二叉树组成
二叉树的五种形态
注:c和d是不同的二叉树, 因为二叉树有左右之分
2)二叉树的特性
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一个二叉树第 i 层的最大结点数为:2^(i-1), i >= 1
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深度为k的二叉树有最大结点总数为: 2^k - 1, k >= 1
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对任何非空二叉树 T,若n0表示叶结点的个数、n2是度为2的非叶结点个数,那么两者满足关系n0 = n2 + 1
3)特殊的二叉树
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完美二叉树(Perfect Binary Tree) , 也称为满二叉树(Full Binary Tree)
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在二叉树中, 除了最下一层的叶结点外, 每层节点都有2个子结点, 就构成了满二叉树
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完全二叉树(Complete Binary Tree)
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除二叉树最后一层外, 其他各层的节点数都达到最大个数
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且最后一层从左向右的叶结点连续存在, 只缺右侧若干节点
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完美二叉树是特殊的完全二叉树
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下面不是完全二叉树, 因为D节点还没有右结点, 但是E节点就有了左右节点
4)二叉树的存储
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二叉树的存储常见的方式是使用链表存储.
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链表存储:
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每个结点封装成一个Node, Node中包含存储的数据, 左结点的引用, 右结点的引用.
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三、二叉搜索树
1)概念
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二叉搜索树(BST,Binary Search Tree),也称二叉排序树或二叉查找树
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二叉搜索树是一颗二叉树, 可以为空
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如果不为空,满足以下性质:
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非空左子树的所有键值小于其根结点的键值
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非空右子树的所有键值大于其根结点的键值
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左、右子树本身也都是二叉搜索树
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2)特点
四、程序实现二叉搜索树
1)创建二叉搜索树类
//节点类
class Node {
constructor(data) {
this.left = null
this.data = data
this.right = null
}
}
//二叉搜索树类
class BST {
constructor() {
this.root = null
}
}
2)二叉搜索树的操作
二叉搜索树常见的操作:
(1) 向树中插入数据
insert(ele) {
//创建新节点
let newnode = new Node(ele)
if (this.root == null) {
//空树
this.root = newnode
} else {
this.insertNode(this.root, newnode)
}
}
insertNode(root, newnode) {
if (newnode.data < root.data) { //放左边
if (root.left == null) {
root.left = newnode
} else {
this.insertNode(root.left, newnode)
}
}else{ //放右边
if (root.right == null) {
root.right = newnode
} else {
this.insertNode(root.right, newnode)
}
}
}
图示:
(2)遍历二叉搜索树
(1)preOrderTraverse
:通过先序遍历方式遍历所有结点
遍历过程:
- 访问根结点
- 先序遍历其左子树
- 先序遍历其右子树
preOrderTraversal(){
this.preOrderTraversalNode(this.root)
}
preOrderTraversalNode(root){
if(root!=null){
//1.根
console.log(root.data)
//2.前序遍历左子树
this.preOrderTraversalNode(root.left)
//3.前序遍历右子树
this.preOrderTraversalNode(root.right)
}
}
(2)inorderTraverse
:通过中序遍历方式遍历所有结点
遍历过程:
中序遍历其左子树
访问根结点
中序遍历其右子树
inorderTraversal(){
this.inorderTraversalNode(this.root)
}
inorderTraversalNode(root){
if(root!=null){
//1.中序遍历左子树
this.inorderTraversalNode(root.left)
//2.根
console.log(root.data)
//3.中序遍历右子树
this.inorderTraversalNode(root.right)
}
}
(3)postorderTraverse
:通过后序遍历方式遍历所有结点
遍历过程:
后序遍历其左子树
后序遍历其右子树
访问根结点
postorderTraversal(){
this.postorderTraversalNode(this.root)
}
postorderTraversalNode(root){
if(root!=null){
//1.后序遍历左子树
this.postorderTraversalNode(root.left)
//2.中序遍历右子树
this.postorderTraversalNode(root.right)
//3.根
console.log(root.data)
}
}
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