树状数组(binary indexed tree,发明者Peter M.Fenwick 1994),是一种设计新鲜的数组结构,它能够高效地获取数组中连续 k 个数的和。
概括说,树状数组通常用于解决以下问题:
数组A中的元素可能不断地被修改,怎样才能快速地获取连续几个数地和?
介绍
什么是树状数组?
……
那么C数组就是树状数组。
思考:
实际上,我们设 为(下标)对应二进制末位0的个数, 从 开始算!
那么:
那么,问题来了给定,如何求?
答案很简单: & 。
关于 & :
比如对于“010101000”最末有3个0, 的值应该是3,算出的应该为8
110101000 -> 这是-i的原码
101010111 -> 这是-i的反码
101011000 -> 这是-i的补码
010101000 -> 这是i的补码
000001000 -> 这是(i & (-i))
。
我们定义它为&。
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
求和:
当我们求的之和时,
如果包含的不一定是的全部和,(比如)就需要再找一个(显然)累加起来,这个我们称之为的前驱,举个例子:
前驱的编号即为比自己小的,最近的,最末连续0比自己多的数
所以的前驱,相当于剪掉了自己最左边的1
int getSum(int x){
int ans = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += C[i];
return ans;
}
直接用一个循环求得Sum,时间复杂度为。
求区间之和怎么办?
!
修改:
修改了某个 ,就需要改动所有包含的
从图上看就是要更改从叶子节点到根节点路径上所有的
怎么求一个节点的父节点?
经过观察和探究,前人们得出了这个规律:
父亲:比自己大的,最近的,末位连续0比自己多的数
节点父亲的编号
void modify(int x, int d){
for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) C[i] += d;
}
其时间复杂度依旧为
一个小小的问题:
那原本的数组,应该怎么做:
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++){
cin >> x;
modify(i, x);
}
小结:
1、在很多情况下,线段树都可以用树状数组实现,凡是能用树状数组实现的一定能用线段树。
2、当题目不满组减法原则的时候,就只能用线段树,不能用树状数组。
3、树状数组的时间复杂的每一个操作都是的时间复杂度。
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