初赛补充知识

英文缩写

% 　　计算机辅助制造（CAM，Computer Aided Manufacturing）
　　计算机辅助设计（Computer Aided Design）
　　计算机辅助教学（Computer Aided Instruction）

进制

% 　　$xB=(x{)}_2$
　　$xO=(x{)}_8$
　　$xD=(x{)}_{10}$
　　$xH=(x{)}_{16}$

排序

% 　　选择排序不稳定 ，希尔排序的时间复杂度为 $\Theta (n^{1.3})\sim \Theta (n^2)$。
　　给 $n$ 个数排序的最坏情况下的最少比较次数为 $\lceil {\log }_{2}n!\rceil$。
　　给 $n$ 个数排序的最坏情况下的最少交换次数为 $n-1$。

二叉树

% 　　由于度数=节点数-1
　　因而有$2\ast n_2+n_1=n_2+n_1+n_0-1$
　　$n_2=n_0-1$
　　
例　已知完全二叉树有 $n$ 个点，求其叶子结点数量。
解　我们有 $$n_2=n_0-1$$　　若 $n$ 为奇数，则 $n_1=0$，否则 $n_1=1$。
　　因此当且仅当 $n$ 为奇数时，叶子结点数量等于 $\frac{n+1}{2}$。
　　当 $n$ 为偶数时，叶子结点数量等于 $\frac{n}{2}$。

卡特兰数

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% 　　令 $h(0)=h(1)=1$，则卡特兰数第 $n$ 项为
$$h(n)=\sum _{i=0}^{n-1}h(i)h(n-i-1)=\sum _{i=1}^{n}h(i-1)h(n-i)$$

% 　　用生成函数等方法很容易推倒得到其另类递推式
$$h(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$$

% 　　同理，递推关系的另类解为
$$h(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$$

出入栈问题

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问　一个足够大的栈的进栈序列为 $1,2,3,\cdots ,n$ 时有多少个不同的出栈序列？

解　令答案为 $h(n)$，显然 $h(0)=h(1)=1$（没有元素时有一种方案，即出栈序列为空），不妨假设最后一个出栈的元素为 $k$，则可以发现，元素 $1\sim (k-1)$ 在 $k$ 元素进栈前就进栈并出栈，元素 $(k+1)\sim n$ 在 $k$ 元素进栈后出栈前，完成了进栈和出栈。
　　那么前 $k-1$ 个元素进栈并出栈共有 $h(k-1)$ 种方案，后 $n-k$ 个元素进栈共有 $h(n-k)$ 种方案，因而总共有 $h(n-k)h(k-1)$ 种方案，由于每个元素作为最后一个出栈的元素时，产生的出栈序列互不相同，因而有
$$h(n)=\sum _{i=1}^{n}h(i-1)h(n-i)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$$

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变1　比如 $n$ 个人拿 $5$ 元、$n$ 个人拿 $10$ 元买物品，物品 $5$ 元，老板没零钱，问有几种排队方式，使得店主能够完成找零？

解　处理拿着五元的人看做元素进栈，处理拿着十元的人当做出栈，那么原问题变成了经典的出入栈问题，那么对于同样的 $n$ 个拿着5元的人，同样的 $n$ 个拿着10元的人，共有 $h(n)$ 种排列方式。
　　特别地，对于不同的 $n$ 个拿着 $5$ 元的人，不同的 $n$ 个拿着10元的人，共有 $h(n)\times n!\times n!$ 种排队方案。

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变2　在n*n的格子中，只在下三角行走，每次横或竖走一格，有多少中走法？

解　可以发现，能向上走 $i$ 步的条件是已经向右走了 $i$ 步，因此将向右走看做入栈，向上走看成出栈，问题转换为出入栈问题，因而答案为卡特兰数。

二叉树构成问题

问　有 $n$ 个结点，问总共能构成几种不同的二叉树。

解　令答案为 $h(n)$，枚左子树的节点数，得
$$h(n)=\sum _{i=0}^{n-1}h(i)h(n-i-1)$$　　因此 $h(n)$ 即为卡特兰数。

其他

区位码

区位码(10)=区号(10)*100+位号(10)
国标码=区位码+2020H
内码=国标码+8080H
内码=区位码+A0A0H

区号：30
位号：63
区位码：3063
国标码：9EBF
内码：bedF

IP地址分类

A类地址(可以在internet上跑)：0开头
B类地址(可以在internet上跑)：10开头
C类地址(局域网)：110开头
D类地址(局域网)：1110开头

二次探测法

第 $i$ 次冲突寻找 $i^2$

信号采样、量化

A/D转换器：模拟信号转换成数字信号
D/A转换器：数字信号转换成模拟信号

错排问题

设 $f(n)$ 为对 $n$ 个元素的一个排列重新排列，每个元素都不在其原来的位置上的方案数量，则：$$f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))$$（感性）证明：
设我们把第 $n$ 个元素放在了第 $k$ 个位置，有 $n-1$ 种情况.
然后考虑放元素 $k$ 。

1. 把元素 $k$ 放在位置 $n$，则由剩余元素的错排组成，即 $f(n-2)$
2. 把元素 $k$ 不放在位置 $n$，则对于元素 $i(i\ne k)$，不能放在位置 $i$，对于元素 $k$，不能放在位置 $n$，相当于 $n-1$ 个元素的错排问题，即 $f(n-1)$。

递归方程求解

% 　　一般地，形如 $$T(n)=aT\left(\frac{n}{b}\right)+f(n)$$

% 　　的方程为最基本的递归方程。

主定理

以下为假的主定理。

1. 若 $f(n)<n^{\log_b a}$，则 $T(n)=\Theta(n^{\log_b a})$。
2. 若 $f(n)>n^{\log_b a}$，且 $af\left(\dfrac nb\right)\leqslant cf(n)$，则 $T(n)=f(n)$。
3. 若 $f(n)=n^{\log_b a}$，则 $T(n)=\Theta(n^{\log_b a}\log n)$
4. 若 $f(n)$ 为非多项式，且不等于 $n^{\log_b a}$，则主定理不适用。

1. 若存在常数 $ϵ>0$，使得 $f(n)=\text{O}(n^{({\log }_{b}a)-ϵ})$，则 $\text{T}(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a})$
2. 若存在常数 $k⩾0$，使得 $f(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a}{\log }_2^{k}n)$，则 $\text{T}(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a}{\log }_2^{k+1}n)$。
3. 若存在常数 $ϵ>0$，使得 $f(n)=\Theta (n^{({\log }_{b}a)+ϵ})$，同时存在常数 $c<1$ 和充分大的 $n$ 使得 $af\left(\frac{n}{b}\right)⩽cf(n)$，则 $\text{T}(n)=\Theta (f(n))$。

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例1　考虑二分的时间复杂度
$$\text{T}(n)=\text{T}\left(\frac{n}{2}\right)+\Theta (1)$$

解　考虑 $\Theta (1)=\Theta (n^{{\log }_{2}1}{\log }_2^{0}n)$，因而有 $\text{T}(n)=\Theta ({\log }_{2}n)$

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例2　考虑二叉树遍历的时间复杂度
$$\text{T}(n)=2\text{T}\left(\frac{n}{2}\right)+\Theta (1)$$

解　考虑 $\Theta (1)=\Theta (n^{{\log }_{2}2-1})$，因而有 $\text{T}(n)=\Theta (n)$

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例3　考虑多项式求逆的时间复杂度
$$\text{T}(n)=\text{T}\left(\frac{n}{2}\right)+\Theta (n{\log }_{2}n)$$

解　考虑 $\Theta (n{\log }_{2}n)>\Theta (n^{{\log }_{2}1})$，且对于任意 $c<1$ 和足够大的 $n$，都有$$\Theta \left(\frac{n}{2}{\log }_2\frac{n}{2}\right)=\Theta (\frac{n}{2}{\log }_{2}n-\frac{n}{2})⩽c\Theta (n{\log }_{2}n)$$　　因而有 $\text{T}(n)=\Theta (n{\log }_{2}n)$。

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例4　考虑分治FFT的时间复杂度
$$\text{T}(n)=2\text{T}\left(\frac{n}{2}\right)+\Theta (n{\log }_{2}n)$$

解　考虑 $\Theta (n{\log }_{2}n)=\Theta (n^{{\log }_{2}2}{\log }_2^{1}n)$，因而有
$$\text{T}(n)=\Theta (n^{{\log }_{2}1}{\log }_2^{2}n)=\Theta (n{\log }_2^{2}n)$$

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期望

问　在一条长度为1的线段上任取两个端点，求线段长度的期望。(NOIP2018提高)

解　解法1：设线段端点的位置分别为 $x,y$，则线段的长度的期望等于在原线段上再取一点 $z$，使得 $z\in [x,y]$ 的概率。
　　考虑 $x,y,z$ 的排列，共有 $3!$ 种方案，由于 $x,y$ 在线段上等概率取点，因此这些方案的概率也相等，其中 $z$ 排在中间的方案有两种，因而答案为 $2/(3!)=1/3$。
　　解法2：随机取 $x\in [0,L]$，则线段0到 $x$ 的长度期望为
$$\frac{{\int }_0^{L}x\text{d}x}{L}=\frac{\frac{1}{2}{L}^2-\frac{1}{2}{0}^2}{L}=\frac{L}{2}$$　　然后我们考虑原问题的答案，在 $[0,1]$ 上枚举断点 $t$，在前面的 $0\sim t$ 之间选一个点 $x$，则 $x$ 到 $t$ 的期望等于0到 $x$ 的答案，为 $\frac{x}{2}$，出现概率为 $\frac{x}{1}$，然后考虑在 $t\sim 1$ 之间选右端点 $y$，则 $t$ 到 $y$ 的期望长度为 $\frac{1-x}{2}$，出现概率为 $\frac{1-x}{2}$，因而 $x$ 到 $y$ 的期望长度为
$$\begin{array}{rl}Len& =\left[{\int }_0^1\left(\frac{x}{2}\times \frac{x}{1}+\frac{1-x}{2}\times \frac{1-x}{1}\right)\text{d}x\right]÷1\\ & ={\int }_0^1\left(x^2-x-\frac{1}{2}\right)\text{d}x\\ & =\left(\frac{1}{3}\times 1^3-\frac{1}{2}\times 1^2-\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{1}{3}\end{array}$$

康托展开

% 　　对于第 $k$ 小的 $n$ 个数的全排列，其康托展开值定义为 $$X=\sum _{i=1}^n{a}_i(i-1)!$$　　可以证明，在数值上有 $k-1=X$。
% 　　如此，我们可以通过其康托展开值求出原来的排列。
例　求排列 1 5 3 4 2 6 的下 200 个排列。

解　首先求出给定排列的康托展开值，为 80，这说明这是第 81 个小的排列，换言之，我们需要求出第 200+81=281 小的排列，因此，其康托展开值位280.
　　先考虑第一位， $280÷(5!)=2\dots \dots 40$，因此说明第一位后面有2个比第一位小的数，因此第一位为3。
　　然后第二位，$40÷(4!)=1\dots \dots 16$，因此说明第二位后面有1个比第二位小的数，因此第二位为2。
　　第三位，$16÷(3!)=2\dots \dots 4$，因此说明第三位后面有2个比第三位小的数，因此第三位为5（2,3前面有了，后面有1,4 比 5 小，所以这一位是5）
　　第四位，$4÷(2!)=2\dots \dots 0$，因此说明第四位后面有两个比第四位小的数，因此第四位为6（2,3,5前面有了，后面必须有1,4两个比这个位置大，所以是6）
　　第五位，$0÷(1!)=0\dots \dots 0$，因此这一位是没有被填上的数中最小的那一个，所以为 1。
　　第六位，$0÷(0!)=0\dots \dots 0$，因此这一位是没有被填上的数中最小的那一个，所以为 4。
　　因此，求排列 1 5 3 4 2 6 的下 200 个排列为 3 2 5 6 1 4。

C++运算符优先级

大致等级划分：括号运算符 $=$ 成员运算符 $>$ 单目运算符 $>$ 双目运算符
　　　　　　　$>$ 三目运算符 $>$ 赋值运算符 $>$ 逗号运算符。

双目运算符内部等级：

1. *，/，%。乘除模。
2. +，-。加减。
3. <<，>>。位移。
4. >，<，>=，<=比较大小。
5. ==，!=。判断相等。
6. &。按位与。
7. ^。按位异或。
8. |。按位或。
9. &&。逻辑与。
10. ||。 逻辑或。

结合顺序：仅有双目运算符、括号运算符、成员运算符为从左向右，其余均为从右向左。

注意重载时逻辑与和逻辑或后，该运算符不再拥有短路的特性。

离散数学逻辑运算

$A\wedge B$，合取，等价于逻辑与。
$A\vee B$，析取，等价于逻辑与。
$\neg A$，表示逻辑非。
$A\to B$，$A$ 蕴含 $B$，即 $A$ 的正确必然导致 $B$ 的正确。

图像存储

% 　　真彩色：一般占32位/像素，也叫全彩色，指的是RBG 8:8:8的图像。
　　伪彩色：将颜色做成颜色表，读取时直接读取对应信息，颜色会有所损失。
　　直接色：仍然使用查找表，但使用直接色在显示器上显示的彩色图像看起来更加真实自然。

排列组合

% 　　从 $n$ 个数中选 $k$ 个数（可以重复选）的方案数为 $C(n+r-1,r)$

第三代移动通信技术标准

1. 中国移动发展产业化程度低的TD-SCDMA
2. 中国联通合并中国网通发展WCDMA
3. 中国电信收购联通CDMA网络后主力发展CDMA2000。

数据库

数据库有层次型数据库、关系型数据库、网状数据库。
层次数据库中数据的逻辑结构是树。
关系数据库中数据的逻辑结构是二维表。
网状数据库中数据的逻辑结构是链接指针。