作者 | 梁唐
出品 | 公众号：Coder梁（ID：Coder_LT）
大家好，我是梁唐。
今天和大家继续来聊聊LeetCode，我们今天看的是LeetCode第10题——正则表达式匹配。
我们这是一个系列已经更完了1-5题，跳过了6-9题，直接来到第10题。因为6-9相对来说难度不算大，也没有新颖的解法，大家可以自行练习，就不额外写文细说了。
这LeetCode第10题非常非常经典，绝对是值得大家反复练习的一道题。好了，我们废话不多说，直接来看题吧。
题意
给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 '.' 和 '*' 的正则表达式匹配。
- '.' 匹配任意单个字符
- '*' 匹配零个或多个前面的那一个元素
所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。
解法
首先还是老规矩，我们拿到题目审完题之后先看数据范围。数据范围是很强的提示信息，既体现了题目的难度，有的时候也能解读出很多信息。
本题的范围很小，两个串最大长度才30。必须要说的是，这是出题方手下留情，正因此很多解法都可以通过。如果稍微提高一下范围，估计通过率还要进一步降低。
对于算法题来说，一般无非正推和逆推两种解法。所谓正推，即顺着题意进行思考，对中途遇到的问题，主要是性能问题进行优化和解决，从而解决问题。逆推则是相反，我们不顺着题意推导，而是另辟蹊径，将题意进行转化，转化成另外一道更容易解决的问题，并且还要保证要能满足原题的条件，不会构成冲突。
这道题非常经典，因为它正推和逆推都可行，我们先从相对比较简单的正推开始。
正向推导
整个题目是经典的字符串匹配问题，唯一的难点在于*的出现。因为它可以匹配任意多个同样的字符，在我们进行匹配的过程当中，遇到*的时候，无法确定它究竟怎样匹配才能达到最优。所以我们可以很自然地可以想到，当我们遇到*时可以进行搜索，也就是枚举所有可能匹配的情况。只要有一种情况能够完成匹配，那么就说明有解。
这个思路是很容易想到的，难点在于如何用代码来表达。
由于我们判断匹配是在两个字符串s和p中间的，所以每一种匹配的情况都会对应s和p中的两个位置。我们可以用一个pair对<i, j>来记录匹配的状态，<i, j>表示字符串s[0:i]的子串和字符串p[0:j]的子串匹配。这样我们只需要维护所有能够匹配上的<i, j>，如果能够匹配到两个字符串的末尾，也就是说<n, m>出现在合法的状态当中，就说明有解，这里的n表示s的长度，m表示p串的长度。
这种用两个数字表示状态的方法是字符串匹配问题当中的常用技巧，我们可以顺着这个思路，要做的就是使用一个数据结构维护所有合法（匹配）的状态，通过当前的合法状态寻找新的合法状态，只要能找到最终要求的状态，那么就说明有解。如果找遍了所有合法的状态也没有找到最终状态，就说明无解。
如果大家学过宽度优先搜索，那么可以很自然地想到可以使用队列来记录所有的状态。那么顺水推舟，不难写出代码。
在这段代码当中我们使用了一个小技巧，我们将字符串s和p向右移动了一位，有效字符从下标1开始。这是因为我们用下标0表示空串的状态，如果下标从0开始，则空串的表达不太方便，代码书写会比较繁琐。
完整代码如下：
class Solution {
public:
bool isMatch(string s, string p) {
int n = s.size(), m = p.size();
s = ' ' + s;
p = ' ' + p;
queue<pair<int, int>> que;
// s和p都是空串可以匹配上，所以是合法的
que.push(make_pair(0, 0));
while(!que.empty()) {
pair<int, int> head = que.front();
que.pop();
int i = head.first, j = head.second;
// 如果s和全部和p串全部都已经完成了匹配，返回true
if (i == n && j == m) {
return true;
}
// 跳过非法长度
if (i > n || j > m) continue;
// 如果s[i+1]和p[j+1]匹配
if (i < n && j < m && (s[i+1]==p[j+1] || p[j+1] == '.')) {
que.push(make_pair(i+1, j+1));
}
// 如果p[j+2]=*，需要考虑p[j+1]位置出现0次即被删除的情况
if (j+2 <= m &&p[j+2] == '*') {
que.push(make_pair(i, j+2));
}
if (p[j] == '*') {
// 如果p[j]=*,s[i+1]能够和p[j-1]匹配，那么<i+1, j>也是合法状态
if (i < n && (j > 0 && s[i+1] == p[j-1] || p[j-1] == '.')) {
que.push(make_pair(i+1, j));
}
}
}
return false;
}
};
写完了代码会发现这其实就是一个典型的宽度优先搜索问题，我们搜索了所有合法的状态，如果最终状态<n, m>被搜索到，那么说明有解，如果没有，说明无解。
这段代码虽然能够AC，但是仔细分析会发现一个问题。问题在于我们枚举状态的时候会有重复，一个中间状态可能会反复被枚举到，从而出现很多次。比如<2, 2>可以推导到<3, 3>，但<2, 3>也可能推导到<3, 3>，<3, 1>也可能推导到<3, 3>。极端情况下，状态会有很多的重复，从而导致性能损耗。
对于这个问题，其实很好解决，我们有一个非常简单的办法可以解决这个问题。就是把所有出现过的状态记录下来，每次有新的状态时就去检查一下是否已经被记录了，从而之前已经记录过的状态。
在C++当中我们可以使用set或者是map做到这一点，代码和刚才相差不大，只不过在往队列插入状态之前，增加了一个判断是否出现的逻辑。这种搜索结合记忆的做法就叫做记忆化搜索，看起来术语很高大上，但其实逻辑并不难。
class Solution {
public:
bool isMatch(string s, string p) {
int n = s.size(), m = p.size();
s = ' ' + s;
p = ' ' + p;
queue<pair<int, int>> que;
que.push(make_pair(0, 0));
set<pair<int,int>> st;
while(!que.empty()) {
pair<int, int> head = que.front();
que.pop();
int i = head.first, j = head.second;
if (i == n && j == m) {
return true;
}
if (i > n || j > m) continue;
pair<int, int> cur;
if (i < n && j < m && (s[i+1] == p[j+1] || p[j+1] == '.')) {
cur = make_pair(i+1, j+1);
// 如果没有出现在st里才会被添加
if (st.count(cur) == 0) {
que.push(cur);
st.insert(cur);
}
}
if (j+2 <= m && p[j+2] == '*') {
cur = make_pair(i, j+2);
if (st.count(cur) == 0) {
que.push(cur);
st.insert(cur);
}
}
if (p[j] == '*') {
if (i < n && (j > 0 && s[i+1] == p[j-1] || p[j-1] == '.')) {
cur = make_pair(i+1, j);
if (st.count(cur) > 0) continue;
que.push(make_pair(i+1, j));
st.insert(cur);
}
}
}
return false;
}
};
逆向推导
看完了正推的解法， 我们再来想想逆推吧。
这道题逆推的思路还是比较明显的，在正推中，我们已知<i, j>合法，探索<i+1, j+1>, <i, j+2>, <i+1, j>合法的可能性。逆推就是反过来，我们要求<i, j>，探索它成立时需要满足的条件。比如，假设<i-1, j-1>合法且s[i]和p[j]匹配，那么显然<i, j>也合法。但由于我们是逆推的，所以我们没办法直接知道<i-1, j-1>是否合法，所以我们要继续推导下去。
说到这里，估计有些小伙伴已经反应过来了，这样的推导方式不就是递归吗？
其实整个的思路和代码的写法和上面的做法几乎是一样的，不过一个是从合法的<0, 0>开始，一个是从要求的<n, m>开始而已。
class Solution {
public:
// 这里要注意，字符串传参会有开销，因此要用引用
bool dfs(string &s, string &p, int n, int m) {
// <0, 0>是合法状态，因此return true
if (n == 0 && m == 0) return true;
if (n < 0 || m < 0) return false;
// 如果s[n]=p[m]递归求<n-1, m-1>
if (n > 0 && (s[n] == p[m] || p[m] == '.')) {
return dfs(s, p, n-1, m-1);
}
// p[m]=*的情况
if (m > 1 && p[m] == '*') {
bool match = p[m-1] == s[n] || p[m-1] == '.';
return dfs(s, p, n, m-2) || (match && dfs(s, p, n-1, m));
}
return false;
}
bool isMatch(string s, string p) {
int n = s.size(), m = p.size();
s = ' ' + s;
p = ' ' + p;
return dfs(s, p, n, m);
}
};
动态规划
我们搞定了逆向推导之后，其实还没有结束，在递归的做法当中，我们求每一个状态都是通过递归的方式去获取的。除了递归之外，还有没有其他办法？
其实是有的，也不难想到，我们完全可以通过一个二维数组来记录。dp[i][j]表示s[0:i]和p[0:j]能否构成匹配，由于我们已知dp[0][0]=true，所以我们可以按照顺序遍历状态进行推导即可。从状态的枚举上，我们是正推的思路，从最初合法的状态<0, 0>向外枚举，而对于每一个要求的状态而言，我们是通过逆推的方式去计算它的结果。
为什么大家都说动态规划的算法很难，难点其实就在这里，它是搜索算法的集大成者，也是正反两种思路的集成，因此对于思维的要求很高。但往往编码都比较简单，想出算法之后很容易实现。
我们来看代码：
bool isMatch(string s, string p) {
int n = s.size(), m = p.size();
s = ' ' + s;
p = ' ' + p;
bool dp[n+5][m+5];
memset(dp, 0, sizeof dp);
dp[0][0] = true;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <=m; j++) {
// 判断s[i]和p[j]是否匹配
bool matched = s[i] == p[j] || p[j] == '.';
if (matched && i > 0) dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
// 判断p[j]是否为*
if (j > 1 && p[j] == '*') {
// 判断p[j-1]是否和s[i]匹配
matched = p[j-1] == s[i] || p[j-1] == '.';
// dp[i][j-2]表示p[j-1]出现0次，dp[i-1][j]表示s[i]通过*重复完成匹配
dp[i][j] = dp[i][j-2] || (i > 0 && matched && dp[i-1][j]);
}
}
}
return dp[n][m];
}
到这里，把动态规划的算法搞定这道题才算是完整写完了。
不知道大家感受如何，有没有感受到这道题的魅力呢？如果只是为了通过这道题的话，最初的代码就可以达成，但我们一步一步推导思考下来，有了更多的解法， 对于这道题的理解也会更加深刻。大部分时候我们对于代码的理解和掌握，正是在这样精益求精的追求中达成的。通过题目不是目的，在做题的过程当中学到东西提升自己才是核心。
关于这题就先聊到这里，感谢大家的阅读。
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