如何解决如何在 Kind-Lang 等纯函数式语言中使用代数数据类型对 Int 类型进行编码?
在 Kind-Lang 等函数式语言助手中,自然数通常被形式化为具有两个构造函数(零和 succ)的递归代数数据类型:
type Nat {
zero
succ(pred: Nat)
}
至于 Int 类型,它也包含负数,在 Kind 上编码它的最佳方法是什么?
解决方法
对 Int 类型进行编码的一种简单方法是制作一对 Nat
和一个符号。例如:
Int: Type
Pair<Bool,Nat>
但是这个定义有一个问题:它包含两个零(-0
和 +0
),因此,为了与传统的 Int 集同构,我们需要考虑符号为负时加 1 的数字。因此,例如,{false,2}
代表 -3
,{false,3}
代表 -4
,依此类推。
Agda 使用类似的编码,代替 Bool
,每个符号都有一个构造函数。我们可以将其移植为:
// Int.pos(n) represents +n
// Int.neg(n) represents -(n + 1)
type Int {
pos(n: Nat)
neg(n: Nat)
}
两种表示都有效,但使用它们来编写算法和证明定理是复杂且容易出错的。例如,这里是 add
的 Int
:
Int.negate(a: Int): Int
case a {
pos: case a.nat {
zero: Int.pos(Nat.zero)
succ: Int.neg(a.nat.pred)
}
neg: Int.pos(Nat.succ(a.nat))
}
Int.add(a: Int,b: Int): Int
case a b {
pos pos: Int.pos(Nat.add(a.nat,b.nat))
neg neg: Int.neg(Nat.succ(Nat.add(a.nat,b.nat)))
pos neg: if b.nat <? a.nat
then Int.pos((a.nat - b.nat) - 1)
else Int.neg(b.nat - a.nat)
neg pos: Int.add(Int.pos(b.nat),Int.neg(a.nat))
}
一种更好的替代方法,常用于立方语言,是将 Int
表示为商。所以,例如,在 Agda 中,我们可以这样写:
data Int : Set where
mkInt : (pos neg : Nat) -> Int
canon : (pos neg : Nat) -> mkInt (suc pos) (suc neg) = mkInt pos neg
这样,我们将整数表示为一对两个 nat,整数表示为第一个自然数减去第二个自然数。因此,例如,mkInt 5 2
代表 3
,而 mkInt 2 5
代表 -3
。这种编码的问题在于它有很多方法来表示相同的 Int。例如,2
可以表示为 mkInt 2 0
、mkInt 3 1
、mkInt 4 2
等。因此,这种类型不会与整数同构。不过,多亏了第二个参数,当我们用一个商数来扩展集合时,它可以识别相同的术语。
在 Kind 中,我们没有直接商,但是,由于使用 Self 编码来表示底层的数据类型,我们能够构建计算构造函数或智能构造函数。这些构造函数与常规构造函数类似,不同之处在于,在某些情况下,它们不会“卡住”。相反,计算以达到规范形式。这样,我们可以用与上面的编码类似的方式对 Int
类型进行编码,加上一个规则,导致 mkInt (succ i) (succ j)
reduce 到 mkInt i j
,直到一个大小为零。所以,我们可以这样写:
type Int {
new(pos: Nat,neg: Nat) with {
zero zero: new(zero,zero) // stuck,thus canonical
zero succ: new(zero,succ(neg.pred)) // stuck,thus canonical
succ zero: new(succ(pos.pred),zero) // stuck,thus canonical
succ succ: Int.new(pos.pred,neg.pred) // non-stuck,thus computes
}
}
遗憾的是,上面的语法还没有在 Kind 中实现,但我们可以通过手动编写它们的自编码来直接构建 Int
(和类似类型):
Int: Type
int<P: Int -> Type> ->
(new: (pos: Nat) -> (neg: Nat) -> P(Int.new(pos,neg))) ->
P(int)
Int.new(pos: Nat,neg: Nat): Int
(P,new)
case pos {
zero: new(Nat.zero,neg)
succ: case neg {
zero: new(Nat.succ(pos.pred),Nat.zero)
succ: Int.new(pos.pred,neg.pred)(P,new)
}!
}: P(Int.new(pos,neg))
这个定义有效,让我们有更简单的算法和证明。例如,对于这种新类型,这里是 Int.add
:
Nat.add(n: Nat,m: Nat): Nat
case n {
zero: m
succ: Nat.succ(Nat.add(n.pred,m))
}
Int.add(a: Int,b: Int): Int
open a
open b
Int.new(Nat.add(a.pos,b.pos),Nat.add(a.neg,b.neg))
注意它只是重用了 Nat.add
。与商相比,这个 Int
的证明更简单,因为 mkInt 3 1
和 mkInt 2 0
根据定义变得相等。
two_is_two: mkInt 3 1 == mkInt 2 0
refl
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