当导数的值受到约束时如何拟合多项式？

如何解决当导数的值受到约束时如何拟合多项式？

在多项式函数 f(x) 的导数的最大值存在约束的情况下，对于 x 的特定范围的值，是否有一种简单的方法可以得到解决方案？

对 this question 的回答是，curve_fit 中的 scipy.optimize 可以处理对各个系数的约束，如下例所示：

def func(x,a,b,c,d):
  return a + b * x + c * x ** 2 + d * x ** 3

x = np.array([0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0])
y = np.array([0.0,0.8,0.9,0.1,-0.8,-1.0])

popt_cons,_ = curve_fit(func,x,y,bounds=([-np.inf,2,-np.inf,-np.inf],[np.inf,2.001,np.inf,np.inf]))
print(popt_cons)
>>> [-0.14331349  2.         -0.95913556  0.10494372]

但是，如果我想要最佳拟合多项式，例如对特定范围的 x 值限制加速度（二阶导数）的最大值，该怎么办？ 这意味着，通过对函数进行两次积分，2*c + 6*d*x 的值存在约束，例如，x 到 0 之间的 10。 有没有办法做到这一点，还是我必须从头开始构建？

解决方法

curve_fit 方法不支持附加约束。但是，您可以实现非线性最小二乘问题

min ||f(x,coeffs) - y||^2

s.t.    lb <= coeffs <= ub
     f''(x,coeffs) <= max_val for all x_lb <= x <= x_ub

附加约束并用minimize解决它。以下是如何通过 np.polyval 和 np.polyder 完成的示例：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

x = np.array([0.0,1.0,2.0,3.0,4.0,5.0])
y = np.array([0.0,0.8,0.9,0.1,-0.8,-1.0])

def objective(coeffs):
    return np.linalg.norm(np.polyval(coeffs,x) - y)

def constraint(coeffs,deriv_order,x_lb,x_ub,max_val):
    deriv_coeffs = np.polyder(coeffs,deriv_order)
    # Evaluate the derivative for all x_lb <= x <= x_ub
    deriv_value = np.polyval(deriv_coeffs,x[(x >= x_lb) & (x <= x_ub)])
    return -1.0*deriv_value + max_val

# Each inequality constraint has the form fun(x) >= 0
cons = [{'type': 'ineq','fun': lambda coeffs: constraint(coeffs,2,0.0,20)}]
bnds = [(-np.inf,np.inf),(2,5.001),(-np.inf,np.inf)]

poly_degree = 3
res = minimize(objective,x0=2.0*np.ones(poly_degree+1),bounds=bnds,constraints=cons)

请注意，每个不等式约束都具有 fun(x) >= 0 形式，即我们有 -f''(x,coeffs) + max_val >= 0 并且我们使用 x_lb = 0.0、x_ub = 3.0 和 max_val = 20 作为二阶导数。最后，res.x 包含多项式系数。