如何解决关于线性化自由浮动系统的可控性
我一直在尝试获得一个没有重力的 MultiBodyPlant 的线性版本,以便在没有重力的系统中使用 LQR 进行实验。然而,线性化会导致一些有趣的现象。可以在 this google colab notebook 中找到一个简化的示例。
当我线性化并检查单个自由浮动刚体的可控性矩阵的秩时,我得到的秩为 6。这是预期的,因为我使用 get_applied_generalized_force_input_port()
作为输入端口,因此确保所有可能的力都可以施加到系统上。单刚体系统有6个自由度(DoF),可控矩阵的秩为6,因此是可控的。
但是,当我使用 Drake 的内置函数 IsControllable()
来检查可控性时,结果 False
意味着它认为系统不可控。在 IsControllable()
函数的 source 中,根据 A
矩阵中的行数检查矩阵的秩。我认为这可能会导致问题,因为线性化涉及在 AutoDiff 期间使用四元数(由于四元数使用 4 个数字来表示状态,因此在 A
矩阵中再添加一行)。线性化过程不知道单位四元数约束,因此使用四元数的系统的 A
矩阵将比系统的 DoF 多 1 行。
我想知道这是对可控性不匹配的正确直觉吗?
这是否会导致 Drake 中可能使用 IsControllable()
函数验证可控性的其他函数出现问题?
解决方法
我认为 IsControllable()
的做法是正确的。如果您有一个带有浮动底座的单个物体,那么您有 13 个状态变量(7 个位置,6 个速度)。如果您只是简单地将方程线性化,那么结果线性系统不知道单位四元数约束是正确的。要求该系统的可控性将要求您将系统驱动到原点(四元数 => 0 ~= 单位四元数)。由于您的动力学模型无法实现这一点,即使在线性化中,我预计您的系统在该线性化中是不可控的。
您可以用横滚-俯仰-偏航浮动底座替换四元数浮动底座。我们有一些 API 可以让 https://github.com/RobotLocomotion/drake/issues/14949 更容易实现。但同时,您可以添加三个翻译和一个 BallRpyJoint。
直接使用四元数查看有关 SE(3) 中控制的文献的替代方法。那里有很好的结果,但线性分析无济于事。
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