如何解决用于特征向量 Python 的 QR 方法
我正在尝试使用 QR 方法找到矩阵 A 的特征向量。我找到了对应于最大特征值的特征值和特征向量。如何在不使用 numpy.linalg.eig 的情况下找到其余的特征向量?
import numpy as np
A = np.array([
[1,0.3],[0.45,1.2]
])
def eig_evec_decomp(A,max_iter=100):
A_k = A
Q_k = np.eye(A.shape[1])
for k in range(max_iter):
Q,R = np.linalg.qr(A_k)
Q_k = Q_k.dot(Q)
A_k = R.dot(Q)
eigenvalues = np.diag(A_k)
eigenvectors = Q_k
return eigenvalues,eigenvectors
evals,evecs = eig_evec_decomp(A)
print(evals)
# array([1.48078866,0.71921134])
print(evecs)
# array([[ 0.52937334,-0.84838898],# [ 0.84838898,0.52937334]])
接下来我检查条件:
Ax=wx
Where:
A - Original matrix;
x - eigenvector;
w - eigenvalue.
检查条件:
print(np.allclose(A.dot(evecs[:,0]),evals[0] * evecs[:,0]))
# True
print(np.allclose(A.dot(evecs[:,1]),evals[1] * evecs[:,1]))
# False
解决方法
算法中没有保证 Q_k
会将特征向量作为列。存在正交本征基的情况更为罕见。这是非常特殊的,以至于这个案例有一个名字,这些是正规矩阵,特征在于它们与它们的转置交换。
通常,您收敛到的 A_k
仍然是对角线上方具有非平凡内容的上三角形。通过计算 Q_k.T @ A @ Q_k
进行检查。从该结构可知,第 i
个特征向量是 k
的前 Q_k
列的线性组合。这可以在一定程度上简化求解特征向量方程。或者直接确定收敛的A_k
的特征向量并用Q_k
变换回来。
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