集合分组问题的有效解决方案

如何解决集合分组问题的有效解决方案

问题陈述：

我们有 N 个集合，每个集合最多包含 M 个元素。我们必须以下列方式合并这些集合：- 我们可以合并（联合）2 个集合来创建一个 2 成员组。 我们可以合并（联合）3 个集合来创建一个 3 成员组。 我们可以合并（联合）4 个集合来创建一个 4 人组。 一组只能是一个组的成员（2 人、3 人或 4 人组）。 2 个成员组的最大数量为 n2，3 个成员组的最大数量为 n3，同样为 n4。每个集合不一定合并，如果最大化我们的目标，我们可以跳过一些集合。 我们将形成的组的大小定义为其中不同元素的数量。

现在我们的目标是最大化所有组大小的平方和。

约束：

1<=N<=10**5

1<=M<=10**6

0<=n2,n3,n4<=5*10**4

示例：

我们有五个集合：{1,2,3},{4,5,6},{2,4,7},{6,4},7} 和 0<=n2,n4<=3。请注意，第 2 组和第 4 组是相同的，因为它们具有相同的元素。但是没有一个集合包含重复的元素。

现在此示例的解决方案包括合并第 2 组和第 5 组以产生 2 人组 {4,6} + {7,6} = {4,6,7} 并合并其余三组以提供 3 人组 {1,3} + {2,7} + {6,4} = {1,3,7} 。这种合并产生大小为 s = 4**2 + 7**2 = 65 的平方和作为我们的最终结果。并不是说任何其他分组组合都会产生更少的大小平方和。

我只能看到需要大量运行时间的蛮力方法，因为所有可能的组合太多了。

我的解决方案（不完整，不接受建议）：

让我们为每个集合分配一个组号，这将有助于我们跟踪哪个集合合并到哪个组中。如果一个集合被分配了编号 0 ，这意味着这个集合没有被合并到任何组中。如果一个集合被分配了一个 [1,n2] 范围内的数字（包括两个限制），这意味着这个集合被合并到一个 2 成员组（并且还说明这个集合被合并到哪个 2 成员组）。如果一个集合被分配了一个 [n2+1,n2+n3] 范围内的数字（包括两个限制），则告诉这个集合被合并到一个 3 个成员的组中。同样，可以为集合分配一个范围 [n2+n3+1,n2+n3+n4] 中的数字。

现在我们可以保持一个二维 dp 如下。 Dp[i] 是一个 i elements 列表，告诉我们第一个 i 集是如何分组的。因此，dp[i][j] 是在迭代第一个 jth 集时分配给 i 集的组号。 dp[i] 可以计算如下。 第 i 个集合可以归为一组

2 人组

或3人组

或4人组

或未归入任何组

我们可以迭代每一种可能性，并使用使我们的目标最大化的那个（但仍然不确定如何）。