如何在 R 中绘制 SVD/PCA 的距离双标图和相关双标图结果？

如何解决如何在 R 中绘制 SVD/PCA 的距离双标图和相关双标图结果？

我搜索了很长时间，以寻求对距离与相关性双标图的直接解释，以及如何转换 PCA 的标准输出以实现两个双标图的解释。我看到的所有堆栈溢出解释 1 2 3 4 都被数学术语淹没了。如何使用 R 的 prcomp 的输出创建距离双标图和相关双标图？

解决方法

我找到的最好的解释是来自蒙特利尔大学生物科学系 Pierre Legendre 的一些讲座幻灯片 (http://biol09.biol.umontreal.ca/PLcourses/Ordination_section_1.1_PCA_Eng.pdf)。然而，虽然这些幻灯片确实展示了手动绘制距离和相关双标图的方法，但它们没有展示如何根据 prcomp 的结果绘制距离和相关双标图。

所以我研究了一个示例，该示例展示了如何使用 prcomp 的输出使它们等效于上面 pdf 中的示例。我将把它留在这里给像我这样的未来人，他们想知道如何绘制距离与相关双标图以及何时要使用每个图（根据 Pierre Legendre）

set.seed(1)

#Run standard PCA
pca_res <- prcomp(mtcars[,1:7],center = TRUE,scale = TRUE,retx = TRUE)

#To print a distance biplot,simply plot pca_red$x as points and $rotation
#as vectors
library(ggplot2)

arrow_len <- 3 #arbitrary scaling of arrows so they're same mag as PC scores
ggplot(data = as.data.frame(pca_res$x),aes(x = PC1,y = PC2)) +
  geom_point() +
  geom_segment(data = as.data.frame(pca_res$rotation),aes(x = 0,y = 0,yend = arrow_len*PC1,xend = arrow_len*PC2),arrow = arrow(length = unit(0.02,"npc"))) +
  geom_text(data = as.data.frame(pca_res$rotation),mapping = aes(y = arrow_len*PC1,x = arrow_len*PC2,label = row.names(pca_res$rotation)))

#This is equivalent to the following steps:
Y_centered <- scale(mtcars[,scale = TRUE)
Y_eig <- eigen(cov(Y_centered)) 
#Note that Y_eig$vectors == pca_res$rotation ("rotations" or "loadings")
# and Y_eig$values (eigenvalues) == pca_res$sdev**2

#For a distance biplot
U_frame <- Y_eig$vectors
#F is your PC scores,achieved by multiplying your original data by the rotations
F_frame <- Y_centered %*% U_frame

#flipping constants if needed bc PC axis direction is arbitrary
x_flip = -1
y_flip = -1
ggplot(data = as.data.frame(F_frame),aes(x = x_flip*V1,y = y_flip*V2)) +
  geom_point() +
  geom_segment(data = as.data.frame(U_frame),yend = y_flip*arrow_len*V1,xend = x_flip*arrow_len*V2),"npc"))) +
  geom_text(data = as.data.frame(U_frame),mapping = aes(y = y_flip*arrow_len*V1,x = x_flip*arrow_len*V2,label = colnames(Y_centered)))

#To print a correlation biplot,matrix multiply your rotations/loadings
# by the identity matrix times your PCA standard deviations 
# (equivalent to the sqrt of your eigen values)
U_frame_scaling2 <- U_frame %*% diag(Y_eig$values^(0.5))

#And divide your PC scores by your PCA standard deviations
# (equivalent to 1/sqrt(eigen values)
F_frame_scaling2 <- F_frame %*% diag(Y_eig$values^(-0.5))

#Plot
arrow_len <- 1.5 #arbitrary scaling of arrows so they're same mag as PC scores

ggplot(data = as.data.frame(pca_res$x %*% diag(1/pca_res$sdev)),aes(x = V1,y = V2)) +
  geom_point() +
  geom_segment(data = as.data.frame(pca_res$rotation %*% diag(pca_res$sdev)),yend = arrow_len*V1,xend = arrow_len*V2),"npc"))) +
  geom_text(data = as.data.frame(pca_res$rotation %*% diag(pca_res$sdev)),mapping = aes(y = arrow_len*V1,x = arrow_len*V2,label = row.names(pca_res$rotation)))

ggplot(data = as.data.frame(F_frame_scaling2),y = y_flip*V2)) +
  geom_point() +
  geom_segment(data = as.data.frame(U_frame_scaling2),"npc"))) +
  geom_text(data = as.data.frame(U_frame_scaling2),label = colnames(Y_centered)))

至于两者之间的差异（以防上面的 pdf 在某些时候变得不可用）：

缩放类型 1：距离双标，当兴趣在 物体相对于彼此的位置。 ——

• 绘制矩阵 F 来表示对象和 U 来表示变量。

Scaling type 2：correlation biplot，当角度 变量之间的关系是最重要的。 ——

• 绘制矩阵 G 来表示对象和 Usc2 来表示 变量，其中 G = FΛ–1/2 和 Usc2 = UΛ1/2。

在缩放 1（距离双标图）中，

• 站点沿每个轴（或主要 分量），等于轴特征值（F的列）；
• 特征向量（U 的列）被规范为长度 = 1；
• p维排序空间（U的行）中每个物种向量的长度（范数）为1。

在缩放 2（相关双标图）中，

• 站点沿每个轴（G 的列）具有单位方差；
• 特征向量（Usc2 的列）被归一化为 长度 = sqrt(特征值);
• p 维中每个物种向量的范数 排序空间（Usc2 的行）是它的标准差。

在缩放 1（距离双标图）中，

1. 物体之间的距离近似于它们的欧几里得距离 完整的多维空间。
2. 在描述符上以直角投影对象近似于 对象沿该描述符的位置。
3. 由于描述符在全维中的长度相等 空间，描述符在缩减空间中的投影长度 表明它对该空间的形成有多大贡献。
4. 因此缩放 1 双标图显示哪些变量贡献最大 到几个维度的排序（另见部分：平衡 变量的贡献）。
5. 描述符轴彼此正交 (90°) 多维空间。这些直角，投影在缩小 空间，不反映变量的相关性。

在缩放 2（相关双标图）中，

1. 物体之间的距离近似于它们的马氏距离 在完整的多维空间中。
2. 在描述符上以直角投影对象近似于 对象沿该描述符的位置。
3. 由于描述符在全维空间中的长度为 sj，因此 描述子 j 在缩减空间中的投影长度是 其标准差 sj 的近似值 .注：sj 为 1 时 变量已标准化。
4. 双图中描述符之间的角度反映了它们的 相关性。
5. 当对象之间的距离关系对于 解释，这种类型的双标图是不够的；距离双标 应该使用。