组合问题中经验概率和数学期望概率之间的差异

如何解决组合问题中经验概率和数学期望概率之间的差异

我发现我的迭代结果与组合问题的数学结果之间存在有趣的差异。

问题是：

我有一个数字列表：40、30、20、10、5、5。我将从列表中随机抽取4个有替换的数字，如果总和大于或等于100，我就赢了.

我以两种方式解决了这个问题。

方法一：组合问题

我统计了所有可以赢得比赛的分数组合和所有可能的组合，随机选择。获胜的概率应该是（获胜组合的数量）/（所有组合的数量）。

方法二：模拟

我玩了 10000 次游戏，看看概率收敛到什么程度。公式是（赢的局数）/（完成的局数）。

更详细的方法 1：

我列出了所有可能的获胜组合，共有 28 种可能的组合。

#Import itertools package
from itertools import combinations_with_replacement

#Getting all combination by defining a particular length.
combi = combinations_with_replacement(lst,4)

#Print the list of combinations
count = 0
count_win = 0
for c in list(combi):
    count += 1
    if sum(c) >= 100:
        print (c)
        count_win += 1

这里，count_win = 28，count = 126 所以获胜的概率是 28/126 = 0.222

方法 2 的详细信息：

但是，如果我进行 10000 次迭代过程并查看概率在大量情况下收敛到什么程度，我会发现概率收敛到 ~0.18。下面是代码和结果。

lst = [40,30,20,10,5,5]
iteration = 10000
# Game with replacement
def drawNum():
    result = []
    for _ in range(4):
        num = random.choice(lst)
        result.append(num)
    return result

def playgame():
    winReplace = 0
    result = []
    for num in range(iteration):
        replace = drawNum()
        if sum(replace) >= 100:
            winReplace += 1
        ratioReplace = winReplace/ (num+1)
        result.append([num,ratioReplace])
    return result

result = pd.DataFrame(playgame())
result.columns = ['number of interation','probability of winning with replacement','probability of winning without replacement']

我将 10000 次迭代的游戏运行了 100 次以计算它收敛到的平均概率，并再次确认它收敛到约 0.18。

lst1 = []
for num in range(100):
    result = pd.DataFrame(playgame())
    p1 = result.iloc[9999,1]
    lst1.append(p1)
np.mean(lst1) # gives 

0.222 和 ~0.18 之间存在明显差异。我想知道在这个过程中我做错了什么来获得这种差异？