主成分分析-SVD U矩阵投影

如何解决主成分分析-SVD U矩阵投影

我有一个我感兴趣的数学问题。主成分分析（PCA）在数学上有多种解决方案。一种方法是使用SVD。

我准备了一个例子。当我绘制U矩阵观测值的相对位置彼此相对完全相同时，我感到很好奇。但是，当我们使用prcom函数进行PCA分析并使用X矩阵时。

我们可以看到PC1和PC2低维空间上的观测位置与SVD中的U矩阵（相对）相同。缩放只是不同的东西。

我现在要从prcom函数获得与X矩阵中相同的值，我们需要从SVD获得（居中）观测值与VT矩阵的矩阵乘积。

我的问题是，考虑到观测值的相对位置相同，是否真的需要C和VT的阶乘积？

library(tidyverse)
library(datasets)
library(matrixStats)

# Loading The Data
X <- as.data.frame(datasets::USArrests)

# Centering the data - Z-standardization
C <- t(t(X) - colMeans(X))
C <- t(t(C) / colSds(C))

# SVD
SVD_REs <- svd(C)


V <- 
  SVD_REs %>% 
  broom::tidy(matrix = 'v') %>% 
  pivot_wider(names_from = PC,values_from = value,names_prefix = 'PC') %>% 
  mutate(column = colnames(X)[column])

U <- 
  SVD_REs %>% 
  broom::tidy(matrix = 'u') %>% 
  pivot_wider(names_from = PC,names_prefix = 'PC') %>% 
  mutate(row = rownames(X)[row])

U %>% 
  ggplot(aes(PC1,PC2,label  = row)) + 
  geom_point() + 
  geom_text()

# NOW USE PCA build-in function
PCA_FUN <- prcomp(X,center = T,scale. = T)


# Their relative possition is Same as in U matrix. However,scaling is different
PCA_FUN$x %>% 
  as.data.frame() %>% 
  ggplot(aes(PC1,label = rownames(.))) + 
  geom_point() + 
  geom_text()