背包问题变化几乎没有约束

如何解决背包问题变化几乎没有约束

我有背囊的这种变体，几乎没有什么限制，而且缺乏约束的确使我真的不知道从哪里开始。

给出一组S个正整数。可能： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

找到两个不重叠的子集，每个子​​集的总数相同。这两个集合不需要包含S中的所有数字。 因此，对于前一个示例，答案将是 [1,2]和[3]

通常，这些问题具有约束条件，例如子集需要具有特定的总和，或者子集需要跨越S的所有元素。 这使我很难想象如何通过蛮力解决这个问题。每当我想出一个动态编程表时，我都无法覆盖所有可能的子集排列

解决方法

该问题可以像伪多项式时间O(n*summ)中的子集和问题一样解决

我们用可能的子集总和填充数组0..summ，当我们遇到相同的总和时，我们停止。

两个相等的和可能由一些相等的项组成-我们只删除它们，所以其余的和仅包含不同的项。

Python中使用二进制算术存储集的示例（位i+1对应于总和中使用第i个项目）。 common包含相等的位，我们使用异或运算将其删除。

最后一行检索所需的集合本身。

L = [2,5,11,17,29,37,43]
summ = sum(L)
A =[0]*(summ+1)
A[0] = 1

X = 0
Y = 0
for i in range(len(L)):
    for k in range(summ,L[i] - 1,-1):
        if A[k - L[i]]:
            t = A[k - L[i]] | (2 << i)
            if A[k]:
                common = A[k] & t
                X = A[k] ^ common
                Y = t ^ common
                break
            else:
                A[k] = t
    if X:
        break

first = [L[i] for i in range(len(L)) if (X & (2 << i))]
second = [L[i] for i in range(len(L)) if (Y & (2 << i))]
print(first,second)

>>> [2,29] [5,37]

在此示例中，代码为59找到相等的总和[2,29] and [5,37]，并删除共同的17以得到总和为42的最终结果

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没有必要将集合存储在A[]单元中-我们可以存储总和的最后一项，然后展开项目序列

L = [2,43]
summ = sum(L)
A =[0]*(summ+1)
A[0] = -1
last = 0
for i in range(len(L)):
    for k in range(summ,-1):
        if A[k - L[i]]:
            t = L[i]
            if A[k]:
                last = k
                break
            else:
                A[k] = t
    if last:
        break

first = set()
k = last
while k:
    first.add(A[k])
    k = k - A[k]

second = set()
second.add(t)
k = last - t
while k:
    second.add(A[k])
    k = k - A[k]

print(first.difference(second),second.difference(first))

>>> {2,29} {37,5}