通过电晕限制优化活动座位分配

如何解决通过电晕限制优化活动座位分配

问题： 给定一组组注册，每个组注册适用于不同数量的人（1-7）， 以及一组1-4个座位的座位组（不变，至少相距2m）， 我想找到将人员组分配给座位组的最佳方法：

• 人们可能会分成几个座位组（尽管最好不要这样）
• 座位组不能由其他人共享
• （可选）分配应尽量减少“浪费”的座位数，即最大化空座位组中的座位数
• （理想情况下，它应在Google Apps脚本中运行，因此内存和计算复杂度应尽可能小）

首次尝试： 我对决策问题（是否可行？）以及优化问题（请参阅可选优化功能）感兴趣。我已将其建模为SAT问题，但这找不到最佳解决方案。

由于这个原因，我试图将其建模为优化问题。我正在考虑采用多种背包的（远程）变体，但是我还无法命名：

• 项目：座位组（大小->体重）
• 背包：人群（大小->容器大小）
• 约束：合并项目的重量> =容器大小
• 优化：减少项目数量

如您所见，约束和优化与标准问题相比是倒置的。所以我的问题是：我在这里走的正确吗，还是您会以其他方式去做？如果正确，此优化问题是否有名称？

解决方法

您可以将其视为整数线性规划问题，定义如下：

let P = the set of people groups,people group i consists of p_i people;
let T = the set of tables,table j has t_j places;
let x_ij be 1 if people from people group i are placed at table j,0 otherwise
let M be a large penalty factor for empty seats
let N be a large penalty factor for splitting groups

     // # of free spaces = # unavailable - # occupied
     // every time a group uses more than one table,// a penalty of N * (#tables - 1) is incurred
min  M * [SUM_j(SUM_i[x_ij] * t_j) - SUM_i(p_i)] + N * SUM_i[(SUM_j(x_ij) - 1)]

     // at most one group per table
s.t. SUM_i(x_ij) <= 1 for all j

     // every group has enough seats
     SUM_j(x_ij * t_j) = p_i for all i

     0 <= x_ij <= 1

尽管这可以最大程度地减少空座位的数量，但不能减少使用的桌子数量或容纳的团体数量。如果您愿意这样做，可以通过为每个转身离开的组增加一个惩罚来扩展目标函数。

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ILP很难使用NP，因此如果没有合适的求解器，可能无法通过Google Apps进行运行。我没有经验，所以恐怕无法为您服务。但是有一些方法可以减少搜索空间。

一个就是通过称为column generation的东西。在这里，问题分为两个部分。复杂的主要问题是您的主要研究问题，但它试图从不同的候选分配（或列）中寻找最优值，而不是整个解决方案空间。

然后的目标是定义一个子问题，该子问题将推荐这些新的潜在解决方案，然后将其合并到主问题中。一个好的子问题的力量在于，它应该可以简化为一个简单的模型，例如Knapsack或Dijkstra。